Вопрос 1. Коши Число b называетсяпределом функции в точке а ,если для любого числа e>0 существует такое число d

Коши Число b называетсяпределом функции в точке а,если для любого числа e>0 существует такое число d, что если для всех х не равном а удовлетворяющих неравенству |x-а| < , выполняется неравенство|f(x) –b|< Обозначения: ;

Краткая форма записи: .

Геометрический смысл:

Неравенство расписывается в виде двустороннего неравенства как или . Аналогично неравенство можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой окрестности точки b найдётся такая -окрестности точки а что для всех х не равном а из этой - окрестности соответствующие значения функции лежат в окрестности точки b.

Теор. (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если функция имеет предел b при х ® а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Док-во. Возьмём e=1. $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |<1Þ -1< f (x)- b <1Þ b -1< f (x)< b +1Þв d-окрестности точки аf (x) ограничена сверху и снизу Þона в этой окрестности ограничена.

Теор. (о сохранении функцией знака предела). Если функция имеет предел b при х ® а, и число b >0 (либо b <0), то существует окрестность точки а, в которой f (x)>0 (либо f (x)<0).

Док-во. Рассмотрим для определённости случай b >0. Возьмём e= b /2. $d: 0<| x - a |<d Þ| f (x)- b |< b /2Þ - b /2< f (x)- b < b /2Þ b - b /2< f (x)< b + b /2Þ f (x)> b /2>0, что и требовалось доказать.

Очевидные следствия: 1. Если b > B, то f (x)> B в некоторой окрестности предельной точки; 2. Если f (x)>0 в некоторой окрестности предельной точки, то не может быть b <0.