Вопрос 1. АСИМПТОТА— прямая, к которой стремится (никогда не достигая ее) имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции

АСИМПТОТА — прямая, к которой стремится (никогда не достигая ее) имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции, когда ее аргумент т приближается к некоторому заданному значению, неограниченно возрастает или уменьшается.

Горизонтальная асимптота

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® бесконечности)

Вертикальная асимптота

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

х ® ¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

. Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

Наклонная асимптота

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)