Вопрос 2. Главная часть приращения Dу дифференцируемой функции, линейная относительно приращения Dх аргумента (т.е

Главная часть приращения D у дифференцируемой функции, линейная относительно приращения D х аргумента (т.е. ), называется дифференциалом функции и обозначается dy (или df (x)).

6.8.2. Инвариантность формы первого дифференциала. Здесь мы рассмотрим одно важное свойство дифференциала, следующее из формулы для производной сложной функции (раздел 6.5.5. Производная сложной функции): если функции и имеют в соответствующих точках производные и , то производная сложной функции равна .

Если х - независимая переменная, то формула для дифференциала: . Если , то . Таким образом, независимо от того, является ли х независимой переменной, или сама эта переменная х является функцией другой переменной t, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же. Это свойство и называется инвариантностью формы первого дифференциала,и часто применяется в теории и решении задач. Ниже (раздел 6.10) мы с помощью этого свойства выведем формулу для производной функции, заданной параметрически.

6.8.3. Правила для вычисления дифференциала. Примеры вычисления дифференциала. Правила для вычисления дифференциала - прямое следствие правил дифференцирования (раздел 6.5):

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем, для примера, формулу 3: .

При нахождении дифференциала можно вычислить производную и затем применить формулу

вычисления дифференциала:

Дифференциалы высших порядков также определяются индуктивно: дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от её первого дифференциала; дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от второго дифференциала; и вообще, дифференциалом n -го порядка функции называется дифференциал от её n -1-го дифференциала. При вычислении высших дифференциалов необходимо учитывать, что дифференциал независимой переменной - произвольная и независимая от х величина, которая при дифференцировании рассматривается как постоянная. Поэтому ; ; …., .