Вопрос 1. Сравнение бесконечно больших

Сравнение бесконечно больших

Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F (х) и G (х) называются бесконечно большими одного порядка роста при х ® а.

Если =0, то ББ G (х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F (х) (F (х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G (х)). Обозначение: F (x) = o(G (x)).

Если =1, то ББ G (х) и F (х) называются эквивалентными.

(Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F (х) и G (х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F (х) - G (х) = о(F (х)) (или F (х) - G (х) = о(G (х)).

Сравнение бесконечно малых функций.

пусть a(х)®0, b(х)®0 при х ® а и пусть $ .

Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Если =0, то БМ a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с b(х) (b(х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с a(х)). Обозначение: a(х) = о(a(х)).

Если =1, то БМ a(х) и b(х) называются эквивалентными. Обозначение: a(х)~b(х); если a(х)~b(х), то b(х)~a(х).

(Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. a(х)~b(х)Û =1Û 0Û . Достаточность. Û Û =1.