Вопрос 1. Ограниченные Определение Множество { x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М

Ограниченные

Определение Множество { x} называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что любого x принадлежащего { x} где x ≤ M, где М называется верхней гранью множества { x}Пример: {−1, 2,3, 4,5}, M 1 = 5,M 2 = 6,M 3 = 10,.... Теорема Ограниченное сверху множество имеет бесконечное число верхних граней. Определение Наименьшая из всех верхних граней называется точной верхней гранью x = Sup { x} (от латинского supremum - наивысшее).Пример: {−1, 2,3, 4,5}, x = 5. Определение Множество { x} называется ограниченным снизу, если существует такое число M, что для любого x принадлежащего { x} где x ≥ M, где M – нижняя грань { x}. Теорема Ограниченное снизу множество имеет бесконечное число нижних граней. Определение Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней гранью x = Inf { x} (от латинского infimum - наинизшее) (ТНГ { x}). Определение Множество { x} называется ограниченным, если существует число М > 0 такое, что для любого x принадлежащего { x} где x ≤ M. Ограниченное множество является одновременно ограниченным и снизу, и сверху. Неограниченные Определение Множество { x} называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа М > 0 найдется элемент x принадлежащий { x}, удовлетворяющий неравенству: x ≥ M Пример: Неограниченные множества: (-∞,∞) – неограниченное множество, (-∞,2] – неограниченное снизу множество, [-5,∞) - неограниченное сверху множество.! Для того чтобы множество было неограниченным, достаточно, чтобы оно было неограниченным либо сверху, либо снизу. Определение Число М называется наибольшим элементом множества { x} M = max{ x}, если 1) M принадлежит{ x}; 2) для любого x принадлежащего{ x}: x ≤ M. Определение Число m называется наименьшим элементом множества { x},m = min { x}, если 1) m принадлежит { x}; 2) для любого x принадлежащего{ x}: x ≥ m.! Ограниченное сверху (снизу) множество может иметь наибольший (наи- меньший) элемент, а может и не иметь его: { х} = [ a; b], max{ x} = b, min { x} = a; { х} = (a; b), max{ x}, min { x} не существуют.

.