Связь понятий односторонних и обычной производных функций

Теорема. Ф-я у=f(x) имеет произв. в т. хÎ(a,b) тогда и только тогда, когда $ односторонние производные и они равны м-у собой.

Док-во по опр.одн. произв. и по теор. о пределе(ф-я имеет предел т.ит.т….)

Замечание. Если ф-я у=f(x) имеет производную во всех точках интервала из её области определения, то сама производная представляет собой новую ф-ю арг-та х, определенную на том же интервале хÎ(a,b).

Дифференциал dу ф-ии у=f(x), при хÎ(a,b) явл. линейной ф-ей аргумента dу=сDх, т.е. процедура взятия дифференциала порождает отображение промежутка (a,b) во мн-во линейных ф-ий. Это отображение наз. оператором(дифференциальным оператором, в данном случае).

Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Дано: - дифференцируема в точке.

Доказать: - непрерывна в точке.

, где - б.м.ф. при .

- непрерывна в заданной точке.