Вопрос 2. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента

Дифференциалом функции в точке x называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка :. Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь - функция независимого переменного , определенная на промежутке . Тогда - сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь уже функция переменного . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что - функция переменного . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.