Доказать первое достаточное условие экстремума функции

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

1. - непрерывна.

2. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Экстремум в точке имеет место в 2х случаях:

1) =0

2) Не Существует ()

( ()=∞)

p.s. если () =0, то точки, где она =0,называются стационарными.