Асимптоты графиков функции

Определение. Прямая линия Г называется асимптотой линии L, если расстояния точки линии L от прямой Г стремятся к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Следует различать вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вертикальные – если функция имеет вертикальную асимптоту, то уравнение такой асимптоты будет иметь вид

,

Поэтому согласно определению асимптоты при . Итак

. (2-112)

Чаще всего это точка разрыва второго рода рассматриваемой функции.

Наклонные - это такая асимптота,уравнение которой является уравнением прямой линии

.

Исходя из определения асимптоты так как расстояния между точкой кривой и точками прямой стремятся к нулю, то получаем зависимости для определения параметров этой прямой линии

(2-113)

и . (2-113а)

В частности если рассматриваемая функция стремиться к конечному пределу А, то эта функция имеет горизонтальную асимптоту.

Примеры:

Задана функция .

График этой функции имеет две вертикальных асимптоты при и - это точки разрыва графика функции и при этих значениях знаменатель функции стремиться к нулю, а сама функция соответственно стремиться к бесконечности.

Заданная функция имеет, кроме того, и наклонную асимптоту

Так по (2-113) и (2-113а) имеем

, т.е. k=1 и

.

Таким образом, наклонная асимптота имеет уравнение,y=x т.е. это биссектриса первого квадранта.