Исследование на максимум и минимум с помощью производных второго порядка

Для примера, рассмотренного выше y»=2x-4 при х=1 у»<0

при х=3 у»>0

т. е. можно представить это тоже таблицей:

f’(x1)	f”(x1)	Характер критической точки
	–	Точка max
	+	Точка min
		Неизвестен

Пример2: Исследовать на max и min функцию; y=2sin x+cos 2x.

Решение: Т. к. функция периодическая с периодом 2π, то достаточно ее исследовать на интервале [0,2π].

1) Находим первую производную:

y’=2sin x-2cos 2x=2(cos x-2sin x·cos x)=2cosx(1-2sin x)/

2) Находим критические точки: 2cos x(1-2sin x)=0

а ) cos x=0; x₁= ;x₂= .

Б) 1-2sin x=0 ; x₃= ;x₄= .

Расположим их по возрастанию x₁= x₂= ; x₃= ;x₄= .

3) Находим вторую производную: y»=-2sin x-4cos 2x.

4) Исследуем в критических точках:

x₁= <0 .

X₂= >0 .

X₃= <0 .

X₄= >0 .

Изображаем график.