![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение y ее представимо в виде
y = f' (x) x + ( x) x,
где первое слагаемое линейно относительно x, а второе является в точке x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем x. Если f'(x) 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю.
Определение 5 (дифференциал). Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно x часть приращения y, равная произведению производной на приращение независимой переменной
dy = f' (x) x.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:
dy = f' (x) dx. | (4) |
Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M (x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN
KN = MNtg xtg = f' (x) x,
то есть dy = KN.
Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение x.
Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.
1. d c = 0;
2. d(c u (x)) = c d u (x);
3. d(u (x) v (x)) = d u(x) d v (x);
4. d(u (x) v (x)) = v (x) d u (x) + u (x)d v(x);
5. d(u (x) / v (x)) = (v (x) d u (x) - u (x) d v (x)) / v 2(x).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f((x)). Если каждая из функций f и являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции
dy = f' (x) dx = f' (u) u'dx = f' (u) du,
так как u'dx = du. То есть
dy = f' (u) du. | (5) |
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1231 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!