Основные теоремы дифференциального исчисления

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 23.1 (Ферма).

Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, то есть

.

Доказательство.

Пусть для определенности функция принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .

Тогда .

Так как производная в точке существует, то

.

Геометрический смысл.

Касательная к графику параллельна оси .

Замечание 1.

Если функцию рассматривать на отрезке , то теорема не верна.

Пример 23.1.

Пусть задана функция .

В точке функция принимает

наименьшее значение,

в точке – наибольшее значение.

.

Теорема 23.2 (Ролля).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале ;

3) функция .

Тогда .

Доказательство.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда

и

(по теореме Вейерштрасса).

Таким образом: .

1) Если , то .

2) .

Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.

Т.к. функция дифференцируема,

то (т. Ферма).

Геометрический смысл.

Касательная параллельна оси внутри интервала .

Теорема 23.3 (Лагранжа).

Пусть функция определена на отрезке и

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) функция дифференцируема на интервале .

Тогда . (23.1)

Замечание 2.

Формула (23.1) – формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрический смысл.

– угловой коэффициент секущей .

(касательная параллельна секущей).

Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание 3.

Т.к. , то , то есть (23. )

Замечание 4.

Если , то

, (23. )

где

Формула (23. ) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента.

Теорема 23.4 (Коши).

Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале .

Тогда . (23.2)

(23.2) – формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.

Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .

Замечание 6.Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).

23. Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f '(x₀), то f '(x₀) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка с э (a; b), в которой производная f'(x) обращается в нуль, т.е. f'(c)=0.

Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка, такая, что f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х (a, b);

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Тогда существует такая точка С э (a; b), что выполняется равенство f(b) - f(a) =

f' (c)(b - a).