Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о скорости движения. Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения S=¦(t), определенного на множестве (a,b). Зафиксируем последовательно два момента времени t₀ и t ₁ Î(a,b) и обозначим D t =t₁ - t₀.

Средней скоростью движения, соответствующей некоторому промежутку времени t, называется отношение пройденного пути, за этот промежуток времени

(2-66)

Средняя скорость не характеризует движение в каждый момент времени. Для того чтобы найти скорость в данный момент t₀, необходимо уменьшить промежуток времени t=t₁-t₀. Чем меньше промежуток, тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т. е. от мгновенной, точное значение скорости равно пределу при, т. е.

(2-67)

2. Задача о касательной. Пусть на множестве (a, b) задана функция y=¦(x). Отметили в декартовой ee системе координат XOY график в виде кривой К x₀;

Возьмем две точки М₀ (¦(x₀)) и М₁(x₁;¦(x₁)) и проведем через них секущую М₀ М₁, ее угол наклона обозначим через a₁. Тогда, если точка М₁, двигаясь по кривой будет приближаться к точке М₀, положение секущей изменяется.

Рис. 2.17. К задаче о секущей

Когда точка М₁ совместиться с М₀, секущая превратиться в касательную. В этом случае a₁=a₀, где a₀ - угол наклона касательной.

Из рисунка видно, что

(2-68)

т.к. x₁-x₀=D x - это приращение аргумента, ¦(x₁)-¦(x₀)=D y - приращение функции, то

tga₁= (2-69)

Осуществляя предельный переход, когда М₁ М₀

. (2-70)

Учитывая (2-69), имеем

(2-71)

Итак, тангенс угла наклона касательной , равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, равно нулю.

Тангенс угла наклона касательной показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента в точке касания, т.е. характеризует скорость процесса или явления, описываемого кривой К. Зная тангенсы углов наклона касательной к графику функции в двух различных точках, можно сравнивать ’’крутизну подъема’’ графика. Так в точке (x₀,f(x₀)) (см. рис.) касательная расположена ''круто'', т. е. тангенс угла наклона большой, функция изменяется быстро, тогда как в точке (x₁,f(x₁)) тангенс угла наклона касательной мал, функция изменяется медленно.

В точках, где касательная горизонта (tg =0), изменение функции почти не происходит.

Если касательная к графику функции в некоторой точке ^ к оси OX, то функция изменяется с бесконечно большой скоростью.