Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Задачи, приводящие к понятию производной



1. Задача о скорости движения. Рассмотрим уравнение неравномерного прямолинейного движения S=¦(t), определенного на множестве (a,b). Зафиксируем последовательно два момента времени t0 и t 1 Î(a,b) и обозначим D t =t1 - t0.

Средней скоростью движения, соответствующей некоторому промежутку времени t, называется отношение пройденного пути, за этот промежуток времени

(2-66)

Средняя скорость не характеризует движение в каждый момент времени. Для того чтобы найти скорость в данный момент t0, необходимо уменьшить промежуток времени t=t1-t0. Чем меньше промежуток, тем меньше средняя скорость отличается от скорости в данный момент времени, т. е. от мгновенной, точное значение скорости равно пределу при, т. е.

(2-67)

2. Задача о касательной. Пусть на множестве (a, b) задана функция y=¦(x). Отметили в декартовой ee системе координат XOY график в виде кривой К x0;

Возьмем две точки М0 (¦(x0)) и М1(x1;¦(x1)) и проведем через них секущую М0 М1, ее угол наклона обозначим через a1. Тогда, если точка М1, двигаясь по кривой будет приближаться к точке М0, положение секущей изменяется.


Рис. 2.17. К задаче о секущей

Когда точка М1 совместиться с М0, секущая превратиться в касательную. В этом случае a1=a0, где a0 - угол наклона касательной.

Из рисунка видно, что

(2-68)

т.к. x1-x0=D x - это приращение аргумента, ¦(x1)-¦(x0)=D y - приращение функции, то

tga1= (2-69)

Осуществляя предельный переход, когда М1 М0

. (2-70)

Учитывая (2-69), имеем

(2-71)

Итак, тангенс угла наклона касательной , равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, равно нулю.

Тангенс угла наклона касательной показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция по сравнению с изменением аргумента в точке касания, т.е. характеризует скорость процесса или явления, описываемого кривой К. Зная тангенсы углов наклона касательной к графику функции в двух различных точках, можно сравнивать ’’крутизну подъема’’ графика. Так в точке (x0,f(x0)) (см. рис.) касательная расположена ''круто'', т. е. тангенс угла наклона большой, функция изменяется быстро, тогда как в точке (x1,f(x1)) тангенс угла наклона касательной мал, функция изменяется медленно.

В точках, где касательная горизонта (tg =0), изменение функции почти не происходит.

Если касательная к графику функции в некоторой точке ^ к оси OX, то функция изменяется с бесконечно большой скоростью.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 232 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...