Определение производной. Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке

Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке. При каждом значении аргумента (x) из этого промежутка функции y=f(x) имеет вполне определенное значение.

Пусть аргумент(x) получил некоторое приращение Dх. Тогда новое значение функции будет равно f(x+Dx) т. е. новое значение функции увеличилось (изменилось) на величину

(2-72)

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

(2-73)

Найдем предел этого отношения при

(2-74)

Определение.

Производной функции y=f(x) точке (x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее, стремиться к нулю, т. е. предел

(2-75)

Замечание: к понятию производной мы пришли через нахождение предела отношения Dy и Dx, естественно об этом можно говорить только тогда, когда этот предел существует.

Еще замечание производная сама тоже является функцией от (x).

Операция (действие) нахождения производной называется дифференцированием функции (о самом слове несколько попозже).