Комплексного числа. Их геометрический смысл

Комплексной плоскостью в математике называется множество упорядоченных пар (x, y), где .

Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут вещественная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться вещественной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются вещественные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.

Число называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

, причём | z | = 0 тогда и только тогда, когда z = 0;

(неравенство треугольника);

, — эти три свойства вводят на комплексных числах структуру двумерного нормированного пространства над полем ;

Угол такой, что: и , называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k π, где k — любое целое число. Из определения следует, что .

Вопрос № 19. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме. Вывод формулы для произведения

Число называется модулем числа z. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной.

Угол такой, что: и , называется аргументом z. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2 k π, где k — любое целое число. Из определения следует, что .

Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Получается

z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Умножение компл.чисел:

Пусть Z1 и Z2, Z1=(a1;b1), Z2=(a2;b2)

Z=z1∙z2⇒ { a=a1∙a2-b1∙b2

b=a1∙b2+a2∙b1

Билет №20. Возведение в степень с натуральным показателем комплексного числа в тригонометрической форме. Вывод формулы Муавра. Показательная форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в натуральную степень чисел в показательной форме.

Формула Муавра для комплексных чисел , заданная в тригонометрической форме — формула

для любого

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел.

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства: