Вопрос №12 Определения инъекции, сюръекции, биекции. Примеры отображений, обладающих (или не обладающих) указанными свойствами

Инъекция: отображение F:X->Y наз. инъекцией(вложением,взаимно однозначным отображением в мн-во Y), если разные эл-ты мн-ва X переводятся в разные эл-ты мн-ва Y

Формально значит,что если два образа совпад.,то совпад. их прообразы(F(x)=F(y)=>x=y)

Инъективность явл. необход. усл. биективности(достаточно вместе с сюръективностью)

Примеры.

1)F:R_>0->R,F(x)=lgx-инъективно

2)F:R₊->R_+,F(x)=x²-инъективно

3)F:R->R_+,F(x)=x²-не является инъективным (F(-2)=F(2)=4)

Биекция. Ф-ция f:X->Y наз. биекцией (и обозн. F:X<->Y),если она:

1)переводит разные эл-ты мн-ва X в разные эл-ты мн-ва Y(инъективность).

Vx1ÎX,Vx₂ÎX(f(x₁)=f(x₂)=>x₁=x₂)

Биекцию также наз. взаимно однозначным отображением.Мн-ва,для кот. сущ. Биекция,наз. равномощными.

Примеры.

1)f(x)=x,f(x)=x³-биективные ф-ции из R в себя.Любой моном одной переменной нечётной степени явл. биекцией.

2)f(x)=e^x-биективная ф-ция в R₊=(0, +бесконечность).Но если её рассм. как ф-цию в R,то она уже не будет биективной(у нуля и отр. Чисел не будет прообразов).

3)f(x)=sin x не явл. биективной ф-цией,если считать её определённой на всём R.

Cюръекция. Отображение F:X->Y наз. сюръективным(сюръекцией,отображением на Y),если каждый эл-т мн-ва Y явл. образом хотя бы одного эл-та мн-ва X, т.е. VyÎY$xÎX:y=F(x)

Для случая числовых ф-ций это выражается как «ф-ция,прин. Все возм. Знач.»

Примеры.

1)F:R->[-1;1],F(x)=sin x-сюръективно

2)F:R->R_+, F(x)=x²-сюръктивно

3)F:R->R,F(x)=x²-не явл. сюръекцией

Вопрос № 14. Определение числовой функции как частного случая отображения. Определение графика функции. Примеры функций и их графиков. Некоторые свойства (чётность-нечетность, периодичность, монотонность, ограниченность). Примеры