Вопрос № 2. Высказывания. Определение операций импликации и эквивалентности. Свойства логических операций

Вопрос № 1. Высказывания (определение высказывания и примеры высказываний). Операции над высказываниями (определения операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, примеры составных высказываний, содержащих эти операции).

Высказывание – повествовательное предложение, о к-ом можно говорить истинно оно или ложно. (пр. три – целое число).

Отрицание – отрицанием высказывания А наз.высказывание, принимающее значение 1, если А=0, 0, если А=1. Обозн-ся (А), (пр. А – 1ый экзамен сдан; (А) – 1ый экзамен не сдан)

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, принимающее значение 1, если А=В=1 и 0 во всех остальных случаях – бинарная операция. Обозн-ся . (А – 1ый экз сдан, В – 2ой экз сдан, сданы оба экза).

Дизъюнкцией называется высказывание, принимающее значение 0, если А=В=0, 1 во всех остальных случаях. Обозн-ся . (А – 1ый экзамен сдан, В – 2ой экзамен сдан, - сдан хотя бы 1 экз.)

Вопрос № 2. Высказывания. Определение операций импликации и эквивалентности. Свойства логических операций

Импликация (следствие) – истинна всегда, кроме случая, когда из истины следует ложь (1→0)

Эквивалентность (равносильность ↔) – истинно когда оба либо 0, либо 1.

Св-ва логических операций:

1) (А)↔А

2) (АvВ)↔(ВvА)

3) (АvВ)vС↔Аv(ВvС)

4) (А^В)↔(В^А)

5) (А^В)^С↔А^(В^С)

6) (АvВ)↔(АvВ)

7) (А^В)↔(А^В)

8) (А→В)↔(В→А)

9) (В→А)↔(А→В)

10) ((А→В)^(В→С))→(А→С)

11) ((А↔В)v(В↔С))→(А↔С)

Вопрос № 3. Высказывания, зависящие от параметра (предикаты). Примеры. Высказывания, содержащие кванторы общности и существования. Примеры таких высказываний. Отрицание высказываний, содержащих кванторы (формальная конструкция и её смысл).

Предикат – это то, что утверждается или отрицается о субъекте суждения.

Пр.: пусть Х›5

А(Х): Х›5

А(1): 1›5 – ложь, 8›5 – истина

Кванторы – логические символы, к-ые обозначают операции, ограничивающие мн-во истинности предиката.

Кв-р общности(∀) – каждый, любой, всякий

Кв-р существования(∃) – сущ-ет по крайней мере один

Правила отрицания кванторов

(∀ х) = (∃х) Р(х)

(∃х) Р(х) = (∀х) Р(х)

Примеры высказываний с кванторами:

1) х –одноклассник (Х – весь класс)

А(х): х поступили в ВУЗ

∃(х): А(х) – найдётся хотя бы один однокл, к-ый поступил в ВУЗ

2) А(Х), х∊Х(х∊ множ-ву параметров),∀х: А(х) (Для каждого х из Х выск.А(х)-истинно)

Отрицание высказываний с кванторами:

∀⇒∃; ∃⇒∀;

Пр.: В: (∀х: А(х)); В: (∃Х:АХ)

Вопрос № 4. Понятие множества (по Кантору), символ принадлежности, пустое множество. Способы задания множеств. Примеры множеств, заданных различными способами. Равенство множеств, определение подмножества, символ включения, понятие несобственного подмножества. Примеры.

Множество (по Кантору) – многое, мыслимое как единое.

Элементы мн-ва – объекты, составляющие это мн-во.

Способы задания мн-в

1) Перечислением своих элементов: А=[a, b, c,…]

2) Через описание ограничительного св-ва. А=[х| Р(х)]- А мн-во таких элементов х, к-ые обладают св-ом Р(х).

Принадлежность(∊) – элем-т х явл. эл-ом мн-ва А

Пустое мн-во(∅) – мн-во, не содержащее ни одного эл-та.

Равенство мн-в – мн-ва А и В равны, если они состоят из одних и тех же эл-тов.

Подмн-во – подмн-во В наз.подмн-ом А, если все эл-ты мн-ва В принадлежат мн-ву А.

Включение (⊂) – если каждый эл-т х мн-ва Х явл.эл-ом мн-ва У, то говорят, что мн-во Х содержится во мн-ве У.

Несобственное подмн-во – когда непустое подмн-во В совпадает с мн-ом А.