Вопрос № 5. Определения операций над множествами (объединение , пересечение , разность ). Понятие универсального множества, операция дополнения

Иллюстрация операций с помощью диаграмм Венна. Примеры.

Объединение (А∪В) – все элементы мн-ва А и все эл-ты мн-ва В, вместе взятые составляют новое мн-во.

Пересечение (А∩В) – так называются два мн-ва, эл-ты к-ых принадлежат как мн-ву А так и мн-ву В.

Разность (А\В) – мн-во, сост.из всех эл-ов А, не принадл.мн-ву В

Универсальное мн-во – содержащее все мыслимые объекты. Всякое мн-во рассматривают как часть большого мн-ва, например, треугольники, квадраты, окружности, можно считать подмн-ами плоскости, целые числа – подмн-ами действит.чисел.

Дополнение – мн-во всех тех эл-ов из УМ, к-ые не принадл.ему. (Если В – подмн-во А, то разность А и В также называют дополнением мн-ва).

Вопрос № 6. Определение эквивалентности множеств. Мощность множества. Примеры множеств, имеющих одинаковую мощность. Связь понятий равенства и эквивалентности. Множество натуральных чисел (аксиомы Пеано). Определение конечного множества. Объединение конечных множеств.

Эквивалентность мн-в – если между мн-ами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие/каждому эл-ту мн-ва А сопоставлен один и только один эл-т мн-ва В и наоборот/

Объединение конечного (счётного) мн-ва счётных мн-в счётно.

Мощность мн-ва – это обобщение понятия количества (числа) эл-ов мн-ва, к-ое имеет смысл для всех мн-в, включая бесконечные.

Пр.: мн-во чётных целых чисел Е имеет такую же мощнсть, что и мн-во целых чисел Z. Определим так:

P: E→Z так P (X)= X/2 – биекция, поэтому |Z|=|E|.

Если мн-ва равны, то они эквивалентны, а если мн-ва эквив., то это незначит, что они равны.

Аксиомы Пеано:

1) 1 есть натуральное число;

2) Следующее за натур.ч-лом есть натур.ч-ло;

3) 1 не следует ни за каким натур.ч-лом;

4) Всякое натур.ч-ло следует только за одним натур.ч-лом;

5) Аксиома полной матем.индукции: если нек.высказывание истинно для n=1 и если из того, что оно верно для n следует, что оно верно для n+1, то оно верно для любого натурального х

Конечное мн-во – мн-во, состоящее из конечного числа эл-ов./ говорят, что мн-во А конечно, если оно эквивалентно нек.отрезку натур.ряда/

Мощность конечного м-ва совпадает с ч-лом его эл-ов

Объединение конечного мн-ва – счётно.