Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до этой плоскости можно вычислить по формуле
.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

№26. Общие уравнения прямой в пространстве.

Система 2-х линейных уравнений (Ax+By+Cz+D=0 (α) и A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (β) (*)). Система 2-х линейных уравнений в которых коэффициенты не пропорциональны определить некоторую прямую l в пространстве как линия пересечения плоскости α и β. Уравнение (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.

№27. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

= =(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A).

x=x₀+mt, y=y₀+nt, z=z₀+pt. ß параметрическое(системой записать)

Х-Х0/m=Y-Y0/n=Z-Z0/P ß Каноническое

№28. Переход от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Пусть z=0 M(-1;-1;0).

№29. Уравнение прямой в проекциях. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

M₁(x₁; y₁) M₂(x₂; y₂), x₁≠x₂, т.е. прямая М₁М₂ не параллельна OY. Согласно предыдущему уравнение любой не вертикальной прямой проходящих через M₁(x₁; y₁) имеет вид y-y₁=k(x-x₁) (*). Т.к. точка М₂ принадлежит данной прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Т.е. y₂-y₁=k(x₂-x₁) .(*) y y₁=

№30. Угол между 2-мя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых в пространстве.

Параллельность и перпендикулярность. В случае перпендикулярности прямых L₁ и L₂ их нормальные векторы также перпендикулярны, т.е. справедливо равенство (n₁, n₂)=0 или A₁A₂+B₁B₂=0. В случае параллельности L₁ и L₂ их нормальные векторы коллинеарны, т.е. справедливо равенство n₁=λn₂. Переходя к координатам этих векторов, получаем, что A₁=λa₂, B₁=λB₂, или .

№31. №32. Расстояние между 2-мя параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между 2-мя скрещивающимися прямыми.

l: xcosβ+ysinβ-p=0 d│MK│=│P₀N│(рис). Найдем проекцию точки М₁ на ось ON пр_ONM₁=x₁cosβ+y₁sinβ, OP₀=p+│NP₀│, x₁cosβ+y₁sinβ=p+│NP₀│ d= x₁cosβ+y₁sinβ-p для того чтобы найти расстояние от точки до прямой надо в левую часть нормального уравнения прямой подставить координаты данной точки т.е. d= x₁cosβ+y₁sinβ-p. Если l: xcosβ+ysinβ-p=0, то приведя это уравнение к нормальному виду получим: d= .

№33. Условия параллейности и перпендикулярности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

называют параллейными(коллинеарными) если коллениарны(параллели) изображающие их направленные отрезки Если угол между ненулевыми векторами и равен 90⁰, то векторы и называют ортогональными(перпендикулярными) и пишут . По определению, векторы и также считают ортогональными, если один из них нулевой.

L: ; α: Ax+By+c+D=0; Найдем точки их пересечения, прейдем каноническое уравнение прямой к параметрической. (V), и выражаем для (x; y; z) подставим в уравнение плоскости получим уравнение относительно неизвестного параметра t, затем подставим найденное значение t в (V) получим координаты в точках пересечения прямой и плоскости