Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода

Несобственные интегралы первого рода

Определение Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Таким образом, можно рассмотреть функцию, зависящую от верхнего предела, как от переменной:

Если эта функция имеет предел при , то число называется значением несобственного интеграла первого рода:

а сам определенный интеграл называется сходящимся. Если же предела не существует, то интеграл называется расходящимся и не имеет никакого числового значения.

Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале задана функция , интегрируемая на любом отрезке, принадлежащем данному интервалу, однако не интегрируемая на отрезке . В точке эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к , либо вовсе не иметь никакого предела. Рассмотрим функцию

она определена при . Эта функция может иметь предел при (левосторонний предел). Этот предел будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности:

Определение. Пусть функция удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём определенный интеграл

значение которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения.