Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости .

2. Ряд

полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости . Сумма ряда (4) . Комплексные числа Определение. Алгебраическая форма записи.

Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна , и так далее. Таким образом, сумма ряда (2) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда полученного из ряда (2) – кратным дифференцированием, равна . Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (2). Тогда имеет место равенство

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных.

37. Степенным рядом называется ряд вида c ₀ + c ₁ x + c ₂ x ² + c ₃ x ³ +..., где c ₀, c ₁, c ₂,... - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Про ряд (1) говорят, что он расположен по степеням x. Иногда рассматривают степенные ряды несколько более общего вида c ₀ + c ₁(x - a) + c ₂(x - a)² +..., расположенные по степеням разности x - a. Впрочем, ряд (2) приводится к виду (1) при помощи подстановки x - a = x '. Ввиду этого обстоятельства мы занимаемся далее преимущественно рядами (1). С чисто формальной точки зрения бесконечные ряды представляют собой суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Аналогично этому, степенные ряды - это, так сказать, "многочлены бесконечно высокой степени". Важность таких выражений для математики видна хотя бы из следующего примера: при любом действительном x будет Пользуясь принятыми обозначениями можем этот результат записать и так: Иначе говоря, важнейшая тригонометрическая функция sin x представима степенным рядом (1).Точно также находим

Мы видим, что степенные ряды представляют собой выражения, способные изображать многие важные функции.

38. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2) k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле