Абсолютную сходимость

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся. УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ряда - свойство ряда, заключающееся в том, что существует сходящийся ряд, полученный из данного нек-рой перестановкой его членов. Числовой ряд безусловно сходится, если он сходится, и сходится любой ряд, полученный перестановкой его членов, причем сумма любого такого ряда одна и та же, иначе говоря, сумма безусловно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Если ряд (*) сходится, но не безусловно, то он наз. условно сходящимся. Для того чтобы ряд (*) условно сходился, необходимо и достаточно, чтобы он сходился, но не абсолютно, т. е. чтобы Если члены ряда (*) являются действительными числами, через обозначены его неотрицательные члены, а через - отрицательные, то ряд (*) будет условно сходиться тогда и только тогда, когда оба ряда расходятся (при этом порядок слагаемых в этих рядах безразличен).

33. Степенные ряды – важный частный случай функциональных рядов – ряды вида где коэффициенты ряда а ₀, а ₁, … – некоторые постоянные.Ряды можно рассматривать как в вещественной (действительной), так и в комплексной области.В действительной области множество сходимости степенного ряда – внутренность интервала | x | < r, т.е. множество чисел х, таких, что –r < x < r. Граничные точки интервала сходимости могут как принадлежать, так и не принадлежать (один или оба) множеству сходимости степенного ряда.В комплексной области множество сходимости ряда – внутренность круга радиуса r. Граничные точки этого круга могут как принадлежать, так и не принадлежать области сходимости ряда.Область сходимости ряда может вырождаться в точку (r = 0), во всю прямую в случае действительного переменного или во всю комплексную плоскость (r = ∞).

34. Теоремаи Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x₁, то он сходится и притом абсолютно для всех . Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: Из этого неравенства видно, что при x<x₁ численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

Следствие. Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

_35. Радиус сходимости степенного ряда. Так называют радиус круга сходимости степенного ряда на комплексной плоскости (или степенного ряда на действительной числовой оси), т.е. такое число r, что ряд сходится при | z | < r (соответственно при | x | < r) и расходится при | z | > r (соответственно при | x | > r). На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:

(Формула Даламбера);

(Формула Коши).