Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (x, y) степени 3, не являющейся рациональной функцией

Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Пример однородной функции степени 3:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

63. Докажите, что если однородная степени. функция f (x, y) дифференцируема в точке (x0, y0), то выполнено равенство x0 fx.(x0, y0) + y0 f y.(x0, y0) =. f (x0, y0).

f (tx,ty)=t^λf(x,y)

Продифференцируем левую и правые части этого равенства по t. В результате приходим к тождеству:

F^’_x(tx, ty)x+F^’_y(tx, ty)y=λt^λ-1f(x,y)

Положив здесь t=1,олучим формулу Эйлера:

F^’_x(x, y)x+F^’_y(x, y)y=λf(x,y)

64. Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?

Пусть z=f(x;y) определена в некоторой области D и точка М(х₀;у₀) – внутренняя точка D (М принадлежит D), тогда данная функция в данной точке будет иметь локальный минимум (максимум), если найдется e - окрестность точки М, что для всех внутренних точек этой окрестности, отличных от М(х₀;у₀) выполняются неравенства:

f(x;y)>f(х₀;у₀) – min

f(x;y)<f(х₀;у₀) – max

65. Имеет ли функция f (x, y) = x² y⁴ локальный экстремум в точке (0,0)?

M_o(x_o,y_o) – точка локального min (max)

Для любой M(x,y) из окрестности f(M_o)≤f(M) (f(M_o)≥f(M))

f(x,y)=x 2y4 Mo(0,0)

M(Δx, Δy)

f(Mo)=f(0,0)=0

f(M)= Δx2Δy4

f(M)-f(Mo)= Δx2Δy4-0= Δx2Δy4≥0

f(M) ≥f(Mo) для любого M(x,y) из окрестности Mo

Следовательно, Mo(0,0) – точка локального min

66. Имеет ли функция f (x, y) = x y ² локальный экстремум в точке (0,0)?

f(x,y)=xy² M_o(0,0), M(Δx, Δy)

f(0,0)=0, f(M)= ΔxΔy²

f(M)-f(M_o)= ΔxΔy²

f(M)-f(M_o) ≥0 если Δx≥0 ➽ M_o(0,0) не является точкой

f(M)-f(M_o)≤0 если Δx≤0 локального экстремума (по определению)

67. Докажите, что функция f (x, y) = x ² + y ²: а) не имеет локального экстремума в точке (1, 1), б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи x + y = 2.

Функция f(x,y)=x²+y²

а) F’_x=2x

F’_y=2y

В точке (1,1) первые производные данной функции не обращаются в ноль, следовательно точка (1,1) не является точкой локального экстремума (не выполняется необходимое условие).

б) Дано уравнение связи x+y=2.

Запишем функцию Лагранжа:

L(x,y)= x²+y²+λ(x+y-2)

L’_x=2x+λ x=y x=1

L’_y=2y+λ ⃗ 2x=2 ⃗ y=1

L’_λ=x+y-2

Следовательно, точка (1,1) является условным экстремумом данной функции при наличии связи.

68. Дайте определение линии уровня функции f (x, y). Рассмотрев множество линий уровня функции f (x, y) = xy, выясните, в каких точках прямоугольника D = {(x, y) | 3 £ x £6, 4 £ y £6} она принимает наибольшее и наименьшее значения, и найдите эти значения.

Линией уровня функции z=f(x,y) называется такая линия f(x,y)=c на координатной плоскости, в точках которой функция f(x,y) принимает постоянное значение z=с.

Множество линий уровня функции f(x,y)=xy:

y=c/x – множество гипербол.

D={(x,y)〡3≤x≤6, 4≤y≤6}

f(x,y)=xy

f’ _x=y ⇒ y=0

f’ _y=x x=0

I Найдем стационарные точки внутри области:

(0,0) не является стационарной точкой, т.к. не принадлежит области

II. Найдем стационарные точки на границе области:

а) x=3

z=3y

z’_y=3 – не явл. стационарной точкой

б) x=6

z=6y

z’_y=6 - не явл. стационарной точкой

в) y=4

z’_x=4 - не явл. стационарной точкой

г) y=6

z’_x=6 - не явл. стационарной точкой

III Найдем угловые точки области:

A(3,4), B(6,3), C(6,6), D(4,6)

Z(3,4)=12 – наименьшая точка

Z(6,3)=18

Z(4,6)=24

Z(6,6)=36 – наибольшая

69. Сформул осн св-ва непрерывных ф-ий, заданных на замкнутом ограниченном множестве в R2. Найдите наибольшее и наим значения функции f (x, y) = x 2 + y 2 на множестве

D = {(x, y) | (x -5)² + y 2 £4}.

Свойства непрерывных функций:

1. Если функция u=f(М) определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M} точек Евклидова пространства Rⁿ , то она ограничена на этом множестве, т.е. существует такое с>0, что для любых точек М, принадлежащих {M} выполняется неравенство |f(M)|<c.

2. Если функция u=f(М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она достигает на этом множестве своих верхних и нижних граней множества.

3. Если функция u=f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она принимает все промежуточные значения между своими min и max значениями.

4. Результатом алгебраических операций непрерывных функций являются непрерывные функции.

f(x,y)=x²+y²

а) D={(x,y)〡(x-5)²+y²≤4} – круг с центром в (5,0) и радиусом 2 – компакт

б) f’_x=2x x=0 ⇒ не принадлежит области

f’_y=2y y=0

в) (x-5)²+y²=4

y²=4-(x-5)²

z=x²+4-(x²-10x+25)

z= x²+4- x²+10x-25

z=10x-21

z’=10 – не имеет стационарных точек на границе

70. Дайте определение выпуклого множества в R ⁿ. Приведите примеры выпуклых множеств в R², объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.

Множество точек М называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками А и В, принадлежащими М, оно содержит весь отрезок АВ.

71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств U, V. R2 является выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множества.

Пусть F=U∩V. Пусть точки А и В принадлежат F.

Т.к. А принадлежит U и В принадлежит U, следовательно, весь отрезок АВ принадлежит U.

А принадлежит V и В принадлежит V, следовательно, АВ принадлежит V.

Следовательно [AB] принадлежат U ∩ V, следовательно F – выпуклое.

72. Дайте определение выпуклой функции нескольких переменных. Докажите, что если функции f (x) и g (x), определенные на выпуклом множестве X Í R n, являются выпуклыми, то их сумма f (x) + g (x) –также выпуклая функция.

Пусть функция z=f(x)=f(x₁….x_n) определена на выпуклом множестве D, тогда функция z=f(x) называется выпуклой на D, если для любых 2-х точек из множества D для любой α, β принадлежащих [0,1] таких, что α+β=1,выполняется неравенство: f(αA+βB)≤αf(A)+βf(B).

Пусть a,b ∈X, α∈[0,1]

f(αa+(1-α)b)≤αf(a)+(1-α)f(b)

g(αa+(1-α)b)≤αg(a)+(1-α)g(b)

Пусть h(x)+g(x) (x∈X) - сумма функций f и g.

Сложим неравенства:

h(αa+(1-α)b)≤αh(a)+(1-α)h(b), означающее выпуклость функции h(x). Если хотя бы одно из неравенств является строгим, то сумма их также является строгим, что доказывает строгую выпуклость h(x), когда хотя бы одна из выпуклых функций f(x) или g(x) является строго выпуклой

73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?

Функция F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений xєX выполняется равенство F’(x)=f(x).

Да, может. Пример:

Первообразная для f(x)=1/x² F(x)=-1/x+C – в точке x=0

74. Докажите, что если F 1(x) и F 2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X, то F 2 (x) = F 1(x) + C, где C - некоторая постоянная.

Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x).

Составим разность F₂(x) - F₁(x) и найдем производную этой разности.

(F₂(x) - F₁(x))’= F₁’(x)- F₂’(x)=f(x) – f(x)=0

Нулю равна только производная константы. Значит F₂(x)- F₁(x)=С или F₂(x)=F₁(x)+С, где С - некоторая постоянная.

75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство. (f (x) + g (x)) dx =. f (x) dx +. g (x) dx?

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим:

(∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x),

производная правой части

(∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x)

Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d (. f (x) dx)= f (x) dx.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

∫dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫ f₂(x)dx