Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема:.пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на X, то F(φ(t)) – первообразная для f(φ(t)φ’(t)) на T, т.е. на множестве T выполняется равенство:
Доказательство: По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна F’t(φ(t))=Fx’(φ(t)) φ’(t)=f(φ(t))φ’(t), что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства.
79. Дайте определение функции f (x), интегрируемой на отрезке [ a, b ].Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = 9 интегрируема на любом отрезке.
Функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a;b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают следующим образом: I=a∫bf(x)dx
Это функция Дирихле.
Доказательство:
Каково бы ни было разбиение T, в любом отрезке разбиения [xk,xk+1] обязательно содержатся как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому для любого отрезка Δxk: mk=0 и Mk=1.
Тогда все нижние суммы Дарбу mk*Δxk= 0*Δxk=0, а верхние суммы Дарбу Mk* Δxk= 1* Δxk=1 – длина отрезка [0,1].
Т.о. множество нижних сумм состоит из одного члена X={0} и множество верхних сумм состоит из одного члена Y={1}, так что любое число из отрезка [0,1] разделяет множество X и Y. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [0,1].
81. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то функция =. xaF (x) f (t) dt, x. [ a, b ], является ее первообразной на этом отрезке.
если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция F(x) =a∫xf(t)dt дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем F’(x)=f(x).
Доказательство:
F’(x)=lim∆x→0 (F(x+∆x)-F(x))/∆x
Для xє(a;b) выберем ∆x столь малым, чтобы точка x+∆x лежала внутри [a;b], тогда
F(x+∆x)=a∫ x+∆xf(t)dt
F(x+∆x)-F(x)= a∫ x+∆xf(t)dt - a∫xf(t)dt= x∫ x+∆xf(t)dt + a∫xf(t)dt - a∫xf(t)dt= x∫ x+∆xf(t)dt
Применим теорему о среднем
F(x+∆x)-F(x)= x∫ x+∆xf(t)dt=f(c)*∆x x<c<x+∆x
(F(x+∆x)-F(x))/∆x=(f(c)*∆x)/∆x=f(c)
Так как функция f(x) непрерывна и c→x при ∆x→0, то lim∆x→0f(c)=f(x)
F’(x)= lim∆x→0(F(x+∆x)-F(x))/∆x= lim∆x→0f(c)=f(x)
Значит f(x) непрерывна на [a;b] и F(x)=a∫xf(t)dt
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 226 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!