![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функции f(x) и g(x)
3. непрерывны на отрезке [a, b];
4. дифференцируемы в интервале (a, b);
"x О (a, b) g'(x) ≠ 0.
Тогда существует точка c О (a, b) такая, что
.
Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.
№46 Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке? Укажите какой-либо многочлен P(x), удовлетворяющий условиям: .
Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.
Найдем производные:
аналогично
таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:
Пример:
№47Разлож ф-цию по формуле Маклорена до
.
№48 Разложите ф-цию по формуле Маклорена до
.
№49 Дайте определение расстояния между точками
. Сформулируйте и докажите свойства функции
.
Пусть . Расстоянием между a и b называется число
. Расстояние между точками удовлетворяет следующим свойствам:
1. и
2.
3.
Доказательство 1 и 2 очевидно. Докажем 3. доказательство носит название «неравенство треугольника». Заметим, что пара точек определяет вектор
.
Проведём серию равносильных преобразований
№50 Дайте определение открытого множества в . Явл ли множество
замкнутым?
Множество D называется открытым, если все его точки внутренние (замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки).
Данное множество нельзя назвать замкнутым, так как оно не включает свою граничную точку «0».
№51 Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество
замкнутым.
Множество {M} называется замкнутым, если все граничащие точки принадлежат этому множеству. Данное множество нельзя назвать замкнутым, так как оно не включает свою граничную точку «0».
№52 Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры множества а) содержащего все свои предельные точки; б) для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.
Точка М0 называется предельной точкой множества {M}, если в любой ее окрестности существуют точки множества {M}, отличные от М0
А) - множество, содержащее все свои предельные точки
Б) является предельной, но множеству D не принадлежит (множество, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая)
№53 Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в
сходится последовательность
?
Последовательность точек {Mn}пространства Rn называется сходящейся, если существует такая точка А, что "e >0, $N, n³N, все точки этой последовательности будут сходиться в e-окрестности точки А: r (Mn;A)< e
последовательность сходится к точке (1,1)
№54 Дайте определение предела ф-ции двух переменных в точке. Найдите предел ф-ции в точке (0,0).
b- предел функции f(M) в точке А, если "e >0, $ d>0, что " M, принадлежащей {Mn} из d-окрестности точки А, т.е. r (M;A)< d, что выполняется неравенство: |f(M) - b| <e,
limf(M)=b M®A
по теореме о произведении бесконечно малой на ограниченную ф-ции.
№55 Докажите, что ф-ция не имеет предела в точке (0,0).
Рассмотрим 2 последовательности точек из D(f), сходящихся к точке (0,0).
Тогда рассмотрим последовательность
По определению предела данной ф-ции в точке (0;0) не существует.
№56 Дайте определение ф-ции двух переменных, непрерывной в точке. Является ли ф-ция непрерывной в точке (1,0)?
Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел этой функции существует и равен значению функции в этой точке: limf(M)=f(A) M®A
непрерывна в точке (1,0)?
№57 Дайте определение частной производной ф-ции f(x,y) по y в точке . Найдите
, если
Частной производной по у функции z=f(x;y) называется предел отношений приращения ∆yz к приращению ∆у, при ∆у→0.
Zَx= =lim(x0; y0+∆y)-f(x0;y0)/∆y, x=const
№58 Дайте определение дифференцируемости ф-ции f(x,y) в точке. Докажите, что если ф-ция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Ф-ция z= f(x,y) называется дифференцируемой в точке M, если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , где
- б.м. ф-ция при
.
=> ф-ция z=f(x,y) непрерывна в точке (х0;y0).
№59 Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой ф-ции f(x,y)? Чему равна производная по направлению, перпендикулярному градиенту?
№60 Дайте определение градиента ф-ции f(x,y) в точке (х0;y0). Докажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост ф-ции. Чему равна скорость этого роста?
Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).
Градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость равна модулю градиента.
По определению скалярного произведения . Учитывая, что
. Из последнего следует, что производная по направлению имеет наибольшую величину при
, то есть когда направление вектора
совпадает с направлением
. Скорость роста равна модулю градиента.
61. Дайте определение однородной функции степени a. Является ли функция f(x;y) = (х2 +3ху)/(2х7 у –у8) однородной и, если да, то какой степени?
Функция z(x;y) называется однородной степени a, если для любой точки (х;у) из области определения и переменной t выполняется равенство z(tx;ty)= t a z(x;y).
Функция f (x, y)= (x2+3xy)/(2x7y-y8) является ли однородной?
F (tx, ty)= (t2x2+3tx*ty)/(2t7x7*ty-t8y8)=t2(x2+3xy)/t8(2x7y-y8)=t-4(x2+3xy)/(2x7y-y8)
Следовательно, данная функция является однородной степени -4.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 658 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!