Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+Dx)= U + DU = U(X₀)+DU, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

35. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.С помощью этой теоремы найдите производную функции y=arcsinx в точке x₀ є (−1, 1).

Теорема. Если задана функция y=f(x) и для нее существует обратная функция x=g(y), которая в рассматриваемой точке у имеет производную g¢(x), не равную нулю, то в соответствующей точке x функция y=f(x) дифференцируема и f¢(x₀)=1/g(y₀)

y=arcsinx, x₀ є (−1, 1).

-p/2£ arcsinx£p/2, функция монотонная и непрерывна и меет обратную x=siny, x’=cosy, y’(x)=1/x(y) => y’(x)=

Дайте определение дифференциала функции f (x) в точке x0. Используя дифференциал, найдите приближенное значение величины:

36. .

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или

= , 25= x₀, 0,12=Dx => f(x)= => f’(x)=1/10

5+0.1*0.12=5.012

Ln1,09.

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или

ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:

38. f(x) = x⁴, x₀ = 9.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

f (x) = x⁴ => E(x)= , при x₀ = 9.

39. f(x) = 3^x, x₀ = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

E(x)=

40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Эластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Док-во: Пусть тогда .