Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью

док-во:

Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.

11. Докажите, что lim (n→∞) Xn = 0 тогда и только тогда, когда lim (n→∞) |Xn| = 0.

1) lim (n→∞) Xn = 0 => бм => для любого ε > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: | Xn – a | < ε,

| Xn| < ε

2)||Xn| - a| <ε, || Xn || < ε, | Xn| < ε

12. Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim (n→∞) √n + 9 = +∞.

1) Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞).

Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.

2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).

3) √n + 9 > A => √n + 9 > 0 => lim (n→∞) √n + 9 = +∞; N = [A² - 9] + 1.

13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3.., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.