Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочеред ряда (A1-A2+A3-A4+…+(-1)n+1*An+…) монотонно убывают: A1>A2>A3… и общий член ряда стремится к нулю: lim An=0, то ряд сходится.
Пример: 1-1√2+1√3-1√4+…условно сход ряд, так как сам он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин 1+1√2+1√3+1√4+…, расходится.
Пример: - знакочередующийся ряд. Убедимся, что модуль общего члена монотонно убывает:
>1 для всех п. Далее, . Таким образом, по признаку Лейбница данный ряд сходится. Продолжим исследование модуля общего члена данного ряда. Сравним его с общим членом гармонического ряда. Имеем . Следовательно, данный ряд, как и гармонический, расходится. Окончательно можно утверждать, что данный ряд сходится условно.
104 Док-те, что ф-ция f (x)=ex разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.
F’(x)=ex…fn(x)=ex…f(n)(x)=ex
Xo=0, f(Xo)=F’(Xo)=f(n)(Xo)=…f(n)=1
F(x)=f(Xo)+f’(Xo)*(X-Xo)/1!+f’’(Xo)(X-Xo)2/2!+…f(n)(Xo)*(X-Xo)n/n!
Ex=f(x)=1+X/1!+X2/2!+….Xn/n!
Радиус сх-ти признак Даламбера
R=lim│(n+1)!/n!│=lim │n+1│=∞ при n→∞ - ряд сходится на всей чмсловой прямой для люб X принадлежит R.
│f(n)(X)│=ex<eR→ eR=M→limRn(X)=0 → ряд сходится к ex.
103 Сформулируйте достаточное условие разложимости ф-ции в ряд Маклорена. Док-те, что ф-ция f(X)=sinX разлаг в ряд Маклорена на люб интервале (-а;а).
Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R)=> <M, n=0,1,2,…, то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x).
F’(X)= cos X =sin(X+∏/2)
F’’(X)=-sin X = sin(X+2∏/2)
F’’’(X)=-cos X= sin(X+3∏/2)
……………………………….
F(n)(X)=sin (X+n*∏/2)
Xo=0,f(Xo)=0,F’(Xo)=1, F”(Xo)=0
F(n)(Xo)=sin(∏*n/2)= n=0,2,4,…,то =0
n=1,5……,то =1
n=3,7,11.., то =-1
sin X → X-X3/3!+X5/5!+…(-1)n*X2n+1/(2n+1)!
Ряд будет сход для люб X, производные ограниченные: │F(n)(X)│≤1 │sin X+(n*∏)/2∏│≤1.
111 Сформулируйте теор о сущ и ед-нности решений задачи Коши для yр-я y’=f(x;y). Проверьте выполняется ли условие этой теоремы для задачи y’=5y+7x, y(0)=0/
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши: Если в ур-нии y’=f(x;y) a-ф-ция f(x;y) и частные производные f’y(x;y) непрерывны в некотор. Обл d содержит точку (Xo;Yo), то сущ единственное решение y=β(X) этого ур удовл начальному условию Y(Xo)=Yo.
112 При каких усл решения задачи Коши y’=f(x;y), y(Xo)=Yo, сущ и единственно? В каких точках (Xo;Yo) эти условия выполняются для ур-я Y’=7√y?
Если ф-ция f(X) непрерывна и f ‘ y непрерывна, тогда f(x;y)=7√y –непрерывна.
F’y=1/7*7√y6, имеет точку разрыва y=0, т.е. ф-ция непрерывна при всех значениях. Кроме y=0- это особое решение и во всех точках оси ОХ будут особые решения.
Dy/dx=7√y→ dy/7√y=dx→ ∫dy/7√y=∫dx
Y6/7*7/6=X+C
Y=7√6*(X+C)6/7 при Х=-С, у=0
В каждой точке (-С;0) проходят решения и у=0→нарушается единственность решений!!!
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 185 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!