Дайте опред и сформул необх усл лок экстремума ф-ии одной переменной. Прив прим ф-ии, для котор это усл выполнено в нек т, но экстремум отсутствует

Точками локального экстремума явл. точки локального максимума (минимума). Точкой локального максимума точка явл. если существует окрестность т. М_о, в которой для любой точки М(x,y) выполняется неравенство f(M)£f(M₀)

Необходимое условие: если f’(x,y) имеет частные производные 1-ого порядка в точке локального экстремума M₀(x,y), то

Пример: y=x³

42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

43. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

=>

44. Используя теорему Лагранжа, докажите, что если f ‘(x) >0 на интервале (a,b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.

=> возрастает.