Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Евклидовы и унитарные пространства. Теорема об ортогонализации. Ортонормированный базис



Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором: (x, x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e 1, e 2, ..., e n попарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e i, e j) = 0, если ij, (e i, e i ) = 1.

Если e 1, e 2, ..., e n ортонормированная система и x = x 1 e1 + x 2 e2 +... + x n e n — разложение вектора x по этой системе, то x i =(x, e i ).

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n -мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e 1, e 2, ..., e n ортонормированный базис n -мерного евклидова пространства и

x = x 1 e1 + x 2 e2 +... + x n e n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x i =(x, e i ), i = 1, 2,..., n.

Теорема 1.1 (об ортогонализации) В евклидовом пространстве любой базис может быть преобразован к ортонормированному базису.

Доказательство. Пусть дан произвольный базис в мерном евклидовом пространстве:

Построим следующие системы, и векторов:

Докажем, что система ортогональна (тогда ясно, что система ортонормированная). Доказательство проведем индукцией по . Базис индукции очевиден, так как система, состоящая из одного ненулевого вектора, ортогональна по определению. Пусть для некоторого подсистема ортогональна. Вычислим скалярное произведение для произвольного .

Имеем:

(мы учли, что для любого скалярное произведение ).

Итак, система ортогональна, и теорема доказана.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство -- пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.
Если и -- два ортонормированных базиса в -мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому -- ортогональная матрица.





Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 943 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...