Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение 1.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: А х = λ х, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.
Подставив в формулы (1.3) x`j = λxj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:
.
Отсюда
. (1.5)
Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:
получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:
| A - λE | = 0, (1.6)
поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.
Свойства характеристического многочлена:
1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Доказательство. (см. (1.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.
2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. аij=aji), то все корни характеристического уравнения (1.6) – действительные числа.
Свойства собственных чисел и собственных векторов:
1) Если выбрать базис из собственных векторов х1, х2, х3, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, λ3 матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:
(1.7)
Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.
2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.
3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.
, откуда х (2) ={ b,-b,b } или, при условии | x (2) |=1, x (2) =
Для λ 3 = 6 найдем собственный вектор x (3) ={ z1, z2, z3 }:
, x (3) ={ c, 2c,c } или в нормированном варианте
х (3) = Можно заметить, что х (1) х (2) = ab – ab = 0, x (1) x (3) = ac – ac = 0, x (2) x (3) = bc - 2 bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.
Пусть заданы два подпространства -мерного пространства . Обозначим их и .
Определение 1.8 Если каждый вектор пространства можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов
где , а , то говорят, что пространство разложено в прямую сумму подпространств и .
Это обычно записывают так:
Теорема 1.3 Для того чтобы пространство разлагалось в прямую сумму подпространств и , достаточно, чтобы:
1. Подпространства и имели только один общий вектор (нулевой вектор).
2. Сумма размерностей этих подпространств была равна размерности пространства .
Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве и базис в подпространстве . Поскольку сумма размерностей и есть , то общее число этих векторов .
Покажем, что векторы
линейно независимы, т.е. образуют базис пространства . Действительно, пусть
отсюда
Левая часть этого равенства есть вектор из , а правая из . Так как, по условию, единственный общий вектор и есть нулевой вектор, то
Но каждый из наборов и состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в и . Поэтому из первого равенства (10) следует, что
а из второго следует, что
Следовательно, система состоит из линейно независимых векторов, т.е. это есть базис в пространстве .
Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые векторов которого образуют базис в , а последние -- базис в .
Произвольный вектор из можно разложить по векторам этого базиса
При этом
и
Таким образом,
где и . Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения:
где
и
где
Вычитая второе равенство из первого, получаем:
откуда
Так как вектор, стоящий в левой части равенства, принадлежит , а вектор, стоящий в правой части, принадлежит , то каждый из этих векторов равен нулю, т.е.
Единственность разложения доказана.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 654 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!