Теорема Гаусса (основная теорема алгебры)

Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е. ) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).

Следствие из теоремы Гаусса.

Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом имеет n комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря представляется в виде произведения

,

где – различные корни кратностей, соответственно .

Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если – корень многочлена , то и корень будет являться корнем многочлена .

Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни на сопряженные, т.е. получим разложение многочлена на линейные множители.

В результате получим разложение вида

,

где отвечает вещественному корню b кратности l, а – комплексным корням и кратности m.