Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях

Пусть , а . Если все векторы линейно выражаются через векторы , то

Доказательство:

Т.к. и , то вышесказанное будет доказано, если докажем, что . Для любого имеет разложение , но каждый вектор линейно выражается через

,

, (*)

где и т.д.

Из (*) , , т.е. есть включение .

Элементарные преобразования системы векторов:

1) перестановка 2-х векторов;

2) умножение вектора на число, не равное 0;

3) добавление к одному вектору другого, умноженного на коэффициент.

Теорема.

При элементарных преобразованиях ранг сохраняется:

.

Пусть – система векторов из . Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций векторов данной системы, т.е

Свойства линейной оболочки: Если , то для и .

Линейная оболочка обладает свойством замкнутости по отношению к линейным операциям (операции сложения и умножения на число).