Базис и размерность линейного пространства

Число n называется размерностью линейного пространства L, если:

1) в L существует система из n линейных векторов;

2) любая система из n+1 векторов в L – линейно зависима.

Замечание: В n -мерном пространстве L линейно зависима любая система из вектора.

Базисом n -мерного линейного пространства L называется всякая линейно независимая система в L, состоящая из n -векторов.

Базисы в линейных пространствах.

1) , .

Базис в L – любая тройка некомпланарных векторов. Канонический базис:

.

2) , .

Базис в L образует, например, . Канонический базис:

.

3) , .

4) , .

Канонический базис:

.

Определение Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами.

Теорема Пространство столбцов из элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность .

Доказательство. Возьмем систему векторов

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

Преобразуем левую часть:

Следовательно,

откуда , , . Итак, система векторов -- линейно независима.

Пусть -- произвольный вектор пространства, Очевидно, что

Следовательно, вектор является линейной комбинацией векторов . Тем самым доказано, что векторы образуют базис в пространстве столбцов из элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- -мерное.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Матрица линейного преобразования конечномерного векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, теорема о связи собственных значений линейного преобразования с корнями его характеристического многочлена.

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору х R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор А х R.

Определение 1.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А(х + у)= А х + А у, А(λ х) = λ А х. (1.1)

Определение 1.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Е х = х.

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы А е₁, А е₂, А е₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

А е₁ = а₁₁ е₁ + а₂₁ е₂ +а₃₁ е₃,

А е₂ = а₁₂ е₁ + а₂₂ е₂ + а₃₂ е₃, (1.2)

А е₃ = а₁₃ е₁ + а₂₃ е₂ + а₃₃ е₃.

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_{3 .} Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (1.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

Для произвольного вектора х =х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор А х, который можно разложить по векторам того же базиса: А х =х`<sub>1</sub> е<sub>1</sub> + х`₂ е₂ + х`<sub>3</sub> е<sub>3</sub>, где координаты x`_i можно найти по формулам:

х`₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x`₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃, (1.3)

x`₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.