Линейная зависимость и независимость системы векторов

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю и такие, что ; в противном случае эта система называется линейно независимой.

Свойства:

1) – линейно зависима, если ;

2) – линейно зависима, если ;

3) Если система содержит зависимую подсистему, то вся система зависима.

Следствия:

1) Всякая часть линейно независимой системы линейно независима;

2) Система, содержащая – линейно зависима;

3) Система, содержащая два равных или пропорциональных вектора, линейно зависима.

Критерий линейной зависимости.

Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из ее векторов линейно выражался через другие.

Геометрический смысл линейной зависимости.

1) Система из 2-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т.е.

– линейно зависима, когда .

Замечание: коллинеарен любому (каждому) вектору.

2) Система из 3-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

3) Любая система из 4-х и более векторов – линейно зависима.