Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А-1, которая находится по формуле

Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица А^-1, которая находится по формуле

А^-1 = (3.3)

Доказательство.

1) Из определения А^-1×А = А×А^-1 следует, что А и А^-1- это квадратные матрицы одного порядка.

Пусть матрица А – невырожденная, то есть |A|¹0. Тогда, по правилу умножения матриц, по теореме Лапласа и по свойству 9 определителей, получим

А× = × = =

= |A|× = |A|×E

Следовательно, А× = |A|×E. Аналогично доказывается, что ×А = |A|×E.

Из А× = |A|×E Þ А^-1×А× = А^-1×|A|×E Þ Е× =А^-1×|A| Þ =А^-1×|A| Þ А^-1 = .

2) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что для матрицы А существует еще одна обратная матрица В. Тогда, согласно определению произведение А×В=Е. Обе части последнего равенства умножим слева на обратную матрицу А^-1 и получим: А^-1×А×В = А^-1×Е Þ Е×В = А^-1×Е Þ В = А^-1. Fin.

Свойства обратной матрицы:

1) |A^-1| = ;

2) (A×B)^-1 = B^-1×A^-1;

3) (A^-1)^т = (А^т)^-1.