Пример. Определенный интеграл

.

Определенный интеграл

1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о независимости интеграла от выбора первообразной (док-во). Следствие. Теорема существования.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a= x₀<x₁<…<x_n=b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида

где

называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [ а, b ].

Предел интегральной суммы S_n при условии, что число разбиений отрезка [ а, b ] неограниченно увеличивается, , а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [ а, b ] и обозначается символом

т.е.

где f(x) – подынтегральная функция;

а – нижний предел интегрирования;

b - верхний предел интегрирования.

Формулой Ньютона - Лейбница называется равенство вида:

При этом предполагается, что подынтегральная функция f(x) непрерывна при всех значениях x, удовлетворяющих условиям

a £ x £ b.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек выполняется неравенство . Требование непрерывности f (x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [ a, b ] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f (x) неограничена на [ a, b ], то она неограничена на каком-либо [ x_{i -1} , x_i ], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).