Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признак Дирихле-Абеля (док-во)

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (12.1.4), а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится , то тоже обязательно сходится).
Пример: Исследовать на сходимость интеграл:
26. Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно.

При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:
Признак Дирихле. Интеграл сходится, если:
1).функция f (x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b ];
2).функция g (x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b ], причём .

Признак Абеля. Интеграл сходится, если:
1).функция f (x) непрерывна на (a, b ] и интеграл сходится;
2).функция g (x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b ], то есть имеет конечный предел: .

12. Замена переменных под знаком несобственного интеграла.

13. Интегрирование по частям несобственных интегралов.

Приложения определенного интеграла

1. Площадь в прямоугольных координатах.