Интегрирование простейших иррациональностей

1. Если подынтегральная функция содержит лишь линейную иррациональность

(а ¹ 0),

то полезна подстановка

. (*)

2. Интеграл от простейшей квадратной иррациональности

вычисляется с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата и сводится к одному из двух интегралов типа

,

которые вычисляются подстановкой Эйлера:

I. (a¹0)

, где t- новая переменная.

То есть

х² + a = t² - 2×t×x + x² или a = t² - 2×t×x.

Возьмем дифференциал от обеих частей, получим

da = 0 = 2tdt - 2xdt - 2tdx или

tdx = (t - x)dt, тогда

, то есть .

Таким образом,

.

.(a¹0). (2.9)

II. . (2.10)

З а м е ч а н и е. Необходимо (2.9) и (2.10) дописать в таблицу интегралов.