Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х ₁ которое описывается плотностью

где  — постоянная положительная величина.

Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большею числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока (см. § 5).

Найдем функцию распределения показательного закона (см. гл. XI, § 3):

Итак,

Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения показательного закона изображены на рис. 12.

Пример. Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр  = 8.

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

f (х) = 8 е^{- 8 x} при х 0; f (x) =O при х < 0.

Искомая функция распределения

F (x) = 1 —e^{- 8 x} при x 0; F (x) = 0 при х < 0.

Функцией распределения называют функцию F (x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е.

F (x) =P (X < х).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».