Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий и совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события А ₁, А ₂, А ₃ независимы в совокупности, то независимы события А ₁ и А ₂, А ₁ и А ₃, А ₂ и А ₃; А ₁ и А ₂ А ₃, А ₂ и А ₁ А ₃, А ₃ и А ₁ А ₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один — в красный цвет (A), один — в синий цвет (B), один — в черный цвет (C) и один — во все эти три цвета (ABC). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Так как из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р (A) == 2/4 =1/2. Рассуждая аналогично, найдем Р (В) = 1/2, Р (С) = 1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события A? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события A по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события A, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события A и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность Р_ВС (А) = 1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А) = 1/2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности.

Приведем теперь следствие из теоремы умножения.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:

Р (A ₁ ,A ₂ ...А_п) =Р (А ₁) Р (А ₂) ...Р (А_п).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению событий АВ и С, поэтому

P (ABC) =P (AB*C).

Так как события A, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также A и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем:

Р (АВ*С) = Р (АВ) Р (С) и Р (АВ) =Р (А) Р (В).

Итак, окончательно получим

Р (ABC) =Р (А) Р (В) Р (С).

Для произвольного п доказательство проводится методом математической индукции.

Замечание. Если события A ₁ ,A ₂ ,...,А_п независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.