Правила дифференцирования. Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) эти

Если функции f и g дифференцируемы в точке то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если ) этих функций, причем

Доказательство

а) По свойству предела суммы получаем Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: В частности, б) Функцию f · g можно записать в виде Но По свойству предела произведения получаем Используя доказанное равенство, получим, что Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим формулу в) Для доказательства этой формулы заметим, что Воспользовавшись свойством предела частного, получим После этого представим как произведение функций f и откуда и следует доказываемая формула.

Если f дифференцируема, то где также дифференцируема, причем

Доказательство этой формулы предоставляем читателю.

Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки причем то функция x = φ (y), обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке y ₀ = f (x ₀), причем

Если функции y = f (x) и z = g (y) дифференцируемы в точках x ₀ и y ₀ = f (x ₀) соответственно, то сложная функция z = g (f (x)) дифференцируема в точке x ₀, причем

Следствием этой теоремы является тот факт, что дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

Если f (x) – четная функция, то – нечетная; если f (x) – нечетная функция, то – четная.

Пусть в окрестности точки t ₀ определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна. Пусть в этой окрестности существуют производные и Тогда сложная функция y = y (t (x)), где t (x) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x, причем

25.

Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Пример 2

Найти производную функции . Решение. Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна . Тогда

Пример 3

Определить производную функции . Решение. Применим формулы производной сложной функции и производной частного.

Пример 4

Продифференцировать функцию . Решение. Сначала найдем производную произведения: Далее, по формуле производной сложной функции

Пример 5

Продифференцировать . Решение. Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем

26. Теорема (о дифференцировании обратной функции) [править]

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

Доказательство [показать]

Примеры [править]

· ,

· ,

^[1] .

27. У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство [править]

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:

что и требовалось доказать.

]

Теорема Лагранжа о конечных приращениях - одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

Следствие 1. Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых и существует точка , такая что .

Значит, при всех и верно равенство .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция возрастает/убывает на отрезке тогда и только тогда, когда её производная на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции .

Следствие 2 (Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция дифференцируема раз в окрестности точки , то для малых (т.е. тех, для которых отрезок лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:

где - некоторое число из интервала .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Следствие 3. Если функция переменных дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

Доказательство для . Зафиксируем значения и и рассмотрим разностные операторы

и .

По теореме Лагранжа существуют числа , такие что

при в силу непрерывности вторых производных функции .

Аналогично доказывается, что .

Но так как , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Следствие 4 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция дифференцируема на отрезке и её производная интегрируема по Риману на этом отрезке, то справедлива формула: .

Доказательство. Пусть - произвольное разбиение отрезка . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков найдём точку такую, что .

Суммируя эти равенства, получим:

Cлева стоит интегральная сумма Римана для интеграла и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

Следствие 5 (Теорема об оценке конечных приращений). Пусть отображение непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области пространства . Тогда .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

28.Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство [править]

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрический смысл ]

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствие [

Если непрерывная функция обращается в ноль в различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в различных точках^[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

29. Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).

Постараемся понять, почему так происходит (строгое доказательство рассматривается в программе высших учебных заведений). Известно, что геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной. Значит, если производная положительна, то угол будет острым.

И получается, что график идет «в гору». Если производная отрицательна, то угол наклона будет тупым и получается, что график идет «под гору».

Промежутки возрастания и убывания называют промежутками монотонности функции.

Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами, значение функции f(x₀) самое большое в некоторой окрестности точки x₀.

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами значение функции f(x₀) самое маленькое в некоторой окрестности точки x₀.

На следующем графике точки -9 и 3 являются точками максимума, а точка -2 является точкой минимума.

Точки максимума или минимума называются точками экстремума.

Теорема Ферма: Если x₀ - точка экстремума непрерывной функции f(x), то f'(x₀)=0.

Геометрически это выглядит так: в точке экстремума касательная параллельна оси ОХ и, поэтому угол наклона равен 0.

Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

30. Теорема Лопиталя:

1. либо ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

История[править]

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.^[2]

Доказательство[править]

Отношение бесконечно малых[править]

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших[править]

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

31. Рассмотрим произвольный многочлен степени :

,

где, таким образом, - постоянные числа – коэффициенты многочлена. Пусть - любое фиксированное число. Полагая , получим

, (1)

откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням , получим выражение для в следующей форме:

, (2)

называемое разложением многочлена по степеням . Здесь - числа, зависящие от и - коэффициенты разложения по степеням . Например, . Из (1) очевидно, что на самом деле от не зависит.

Найдем последовательные производные :

, (3)

Производные порядка выше равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) , получаем

,

,

или

, (4)

где мы считаем .

Формулы (4) показывают, что многочлен степени можно разложить по степеням единственным образом, т. е. если для всех значений верно равенство

,

где и - постоянные, то . Ведь как числа , так и вычисляются по одной и той же формуле (4).

В силу (4) формулу (2) можно переписать так:

. ()

Формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть фактически не зависит от .

П р и м е р 1. Пусть и . Тогда в силу

,

где в данном случае

,

,

и мы получили известную формулу бинома Ньютона.

. (5)

Рассмотрим теперь любую функцию , которая имеет непрерывные производные всех порядков до -го в некоторой окрестности точки . Мы можем формально составить многочлен

, (6)

который называется многочленом Тейлора -й степени или -м многочленом Тейлора функции по степеням .

Многочлен совпадает с функцией в точке , но для всех он не равен (если не является многочленом степени ). Кроме того,

. (7)

Положим

. (8)

Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции ; называется остаточным членом формулы Тейлора, - подробнее -м остаточным членом формулы Тейлора функции по степеням . Функция показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (6).

Найдем выражение для через производную .

В силу (7) и (8) . Положим . Ясно, что . Применяя теорему Коши к функциям и , будем иметь

.

Но .

Следовательно,

, (9)

где - некоторая точка, лежащая между и . Таким образом, формулу (8) можно записать в виде

. ()

Формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Мы доказали важную теорему.

Т е о р е м а 1. Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что можно записать по формуле .

Здесь зависит от и .

Если точка , то формулу (8) называют формулой Маклорена.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши.

, (10)

где зависит от и . Вывод этой формулы будет дан в § 6.5.

Уменьшая окрестность точки , получим, что производная есть непрерывная функция от на замкнутом отрезке . Но тогда она ограничена на этом отрезке:

(11)

(см. § 3.5, теорема 1). Здесь - положительное число, не зависящее от указанных , но, вообще говоря, зависящее от . Тогда

. (12)

Неравенство (12) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение при фиксированном в окрестности точки и для того, чтобы исследовать поведение при .

Из (12), например, следует, что при фиксированном имеет место свойство

, (13)

показывающее, что если разделить на , то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при .

В силу (13) из следует:

. (14)

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано.

Она приспособлена для изучения функции в окрестности точки .

Т е о р е м а 2 (е д и н с т в е н н о с т и). Пусть одна и та же функция из различных соображений оказалась представленной в окрестности точки в виде

(15)

Тогда

. (16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если приравнять правые части (15) и перейти к пределу при , то получим . Теперь в этом равенстве можно сократить на и опять перейти к пределу при . Тогда получим . И так продолжаем до тех пор, пока получим .

П р и м е р 2. Мы знаем, что

.

Поэтому

. (17)

С другой стороны, функция имеет в окрестности точки производные любого порядка, поэтому для нее имеет место формула Тейлора с остатком в форме Пеано

. (18)

Сопоставляя формулы (17) и (18), на основании теоремы единственности получим

. (19)