Параметры зуба колеса. Геометрия эвольвенты

Основным назначением зубчатого зацепления является передача вращательного движения с одного вала (ведущего) на другой (ведомый) с заданным отношением угловых скоростей. От­ношение угловых скоростей ведущего вала к ведомому называется передаточным числом и обычно обо качается буквой :

передаточное число равно:

. (4)

Передачи, составленные из зубчатых колес, имеют постоянное передаточное число. Здесь передача вращения осуществляется нажатием боковой поверхности зубца ведущего колеса на боковую поверхность зубца ведомого колеса.

Часть зубца, выступающая снаружи начальной окружности, называется головкой зубца. Часть зубца, расположенная внутри начальной окружности, называется ножкой зубца. Профиль зубца снаружи ограничивается окружностью головок или выступов, радиус которой обозначается . Окружность, ограничивающая впадину между соседними зубцами, называется окружностью ножек или впадин; радиус ее обозначается ; расстояние между окружностью головок и начальной окружностью, измеренное по радиусу, обозначенное , называется высо­той головки. Расстояние между окружностями начальной и впадин, измеренное по радиусу, называется высотой ножки и обозначается . Полная высота зубца:

. (10)

Расстояние между одноименными точками двух соседних зубцов, измеренное по начальной окружности, называется шагом зацепления по начальной окружности и обозначается буквой , например, ; шаг зацепления должен быть одинаковым у обоих находящихся в зацеплении колес, поэтому имеем:

и , (11)

где и — числа зубцов колес, откуда:

. (12)

Если и — числа оборотов колес в минуту, то

и . (13)

Следовательно, передаточное число выражается так:

.

Передаточное число прямо пропорционально отношению угловых скоростей и чисел оборотов и обратно пропорционально отношению радиусов начальных окружностей и чисел зубцов.

Для удобства расчетов и измерения зубчатых колес целесообразно радиусы колес задавать рациональными числами. Поэтому основным параметром принят не шаг, а отношение шага к числу отношение называется модулем зацепления и обозначается буквой т:

[ мм ]; (15)

Модуль всегда выражается в мм.

Из соотношения имеем ;

отсюда получаем формулу для подсчета диаметра начальной окружности:

. (6)

Геометрия эвольвенты

Если по окружности без скольжения перекатывать прямую (рис. 6), то каждая точка прямой очертит на плоскости, жестко связанной с этой окружностью, кривую, которая называется эвольвентной. Окружность, по которой перекатывается прямая, образующая эвольвенту, называется основной окружностью, и радиус ее обычно обозначается буквой г₀; прямая, которая перекатывается, называется образующей, или производящей прямой.

Иначе образование эвольвенты можно представить так: пусть на некотором диске радиуса г₀ намотана нить. Если взять эту нить за конец и начать сматывать с диска, оставляя сматываемый конец все время натянутым, то каждая точка этого натяну­того конца нити образует (на плоскости, связанной с диском) эвольвенту. Из сказанного ясно, что эвольвента является раз­верткой окружности. Из самого процесса образования эвольвенты вытекает, что эвольвента не может заходить внутрь основной окружности. Начинаясь на основной окружности, точки эвольвенты все более и более удаляются от нее и уходят в бесконечность. Эвольвента имеет две ветви — левую и правую, в зависимости от того, в какую сторону по отношению к основной окружности перекатывается прямая. Отрезки касательных к основной окружности и т.д.) являются спрямленными дугами основной окружности . Из этого следует что дуги основ­ной окружности равны соответствующим отрезкам касательных: . Касательные к основной окружности (в точках и т. д.) являются нормалями к эвольвенте (в точках В, С, ). Если от одной и той же основной окружности провести две эвольвенты (А₀ВС Е и А'₀В'С' 'Е'), то расстояние между ними, измеренное по нормали, равно спрямленной дуге между началами эвольвент (между точками А₀ и ); расстояние между эвольвентами, измеренное по нормали, в любых точках одинаково (). Поэтому эвольвенты одной и той же основной окружности являются эквидистантными (равноотстоящими) кривыми. Радиус основной окружности (го) является единственным параметром, определяющим эвольвенту.

Точки касания касательной с основной окружностью являются центрами кривизны эвольвенты в точках В, С, В, Е, и следовательно, основная окружность является геометрическим местом центров кривизны эвольвенты. Длина касательной от точки касания до эвольвенты является радиусом кривизны эвольвенты в этой точке.

Возьмем произвольную точку В на эвольвенте (рис. 7):

(27)

из ОВС имеем: ; так как , то

; (28)

следовательно, (здесь углы и выражены в радианах).

При перемещении точки В по эвольвенте радиус-вектор ОВ, переменную длину которого обозначим буквой , будет повертываться и угол будет изменяться. В соответствии с этим будет изменяться и угол . Зависимость между этими углами, определяемая выведенным выше соотношением, называется эвольвентной функцией:

. (29)

называется инволютой угла .

Численные значения эвольвентных функций или инволют при­водятся в таблицах технических справочников.

Из определяется длина радиуса вектора :

. (30)

Равенства (29) и (30) представляют собой уравнения эвольвенты в параметрической форме.

По мере удаления точки эвольвенты от основной окружности увеличивается длина касательной из этой точки к основной окружности, т. е. увеличивается радиус кривизны эвольвенты — и следовательно, кривизна эвольвенты уменьшается.

Из следует, что ,поэтому с увеличением радиуса основной окружности кривизна эвольвенты также уменьшается, и в пределе при эвольвента обращается в прямую линию, перпендикулярную образующей.

15. Кинематика зубчатых механизмов: рядовые, планетарные, дифференциальные

Передаточным отношением от одного звена к другому звену, которые соответственно обозначим А и В, называется отношение угловой скорости звена А к угловой скорости звена В:

, (1)

или, так как

, . (2)

Передаточное отношение является наиболее важным кинематическим и динамическим параметром, характеризующим зубчатую передачу, так как именно передаточное отношение определяет собой число оборотов и крутящий момент ведомого вала, если для ведущего вала эти величины известны. Из формулы 1 имеем:

или . (3)

Момент на ведомом валу зависит от момента на ведущем валу М_А, передаточного отношения и к. п. д. редуктора:

, (4)

так как

, (5)

где к.п.д., и соответственно полученная и затраченная мощности.

Угловые скорости колес и в случае внешнего зацепления всегда противоположны по направлению, и передаточное отношение считается отрицательным:

. (6)

Согласно теории эвольвентного зацепления, передаточное отношение двух зубчатых колес с неподвижными осями может быть выражено через числа зубцов этих колес:

. (7)

Для пары зубчатых колес с неподвижными осями,и внутренним зацеплением (рис. 2) передаточное отношение считается положительным, так как угловые скорости обоих колес имеют одинаковое направление:

. (8)

Теорема о полном передаточном отношении.

. (12)

полное передаточное отношение от звена А к звену В равно произведению частных передаточных отношений от звена А кзвену В через любые промежуточные звенья С и .

Классификация зубчатых механизмов

Различают одноступенчатые и многоступенчатые механизмы, составленные из зубчатых колес.

Одноступенчатыми называют элементарные зубчатые механизмы, т. е. такие, которые не могут быть расчленены на более простые самостоятельные механизмы.

Многоступенчатыми называют механизмы, образованные путем соединения двух или нескольких элементарных, т. е. одноступенчатых, механизмов. Такое соединение может быть как последовательным, так и параллельным или смешанным.

Одноступенчатые механизмы, входящие в состав многоступенчатого редуктора, принято называть ступенью этого редуктора.

Все одноступенчатые зубчатые механизмы делятся на: 1) передачи с неподвижными геометрическими осями всех колес, или простые ступени 2) сателлитные передачи (или ступени), т. е.. передачи, в которых геометрическая ось хотя бы одного колеса перемещается в процессе работы.

Такие, колеса кроме вращения вокруг собственной оси имеют еще вращение вокруг Центрального колеса и называются сателлитами, так как их движение аналогично движению планет в Солнечной системе.

Сателлитные передачи подразделяют на планетарные обладающие одной степенью свободы, и дифференциальные, обладающие двумя степенями свободы.

Передачи с неподвижными осями

Передаточное отношение рядовой многоступенчатой передачи (рис. 3) определяется по формулам (11) и (6):

. (13)

В рядовой передаче передаточное отношение не зависит от числа зубцов промежуточных колес. При нечетном числе колес внешнего зацепления угловая скорость ведомого вала совпадает по направлению с угловой скоростью ведущего вала; при четном числе колес угловые скорости ведущего и ведомого валов имеют различное направление.

Передаточное отношение ступенчатой передачи (рис. 5):

, (14)

зависит от числа зубцов всех колес.

Рис. 4 Рис. 5

Планетарная передача

Простейший планетарный редуктор (рис. 6) состоит из центрального колеса 1, колеса 2,называемого сателлитом, неподвижного колеса 0и рычага, или водила, . При вращении колеса 1 по часовой стрелке его зубцы увлекают входящие с ними в зацепление нижние зубцы сателлита 2, а так как верхние зубцы сателлита входят в зацепление с неподвижным колесом О, то сателлит поворачивается как рычаг относительно неподвижной опоры — мгновенного центра вращения. |При этом ось сателлита 2, укрепленная в подшипниках на водиле , перемещается и заставляет вращаться водило

Сателлит 2 совершает сложное движение: вращается относительно собственной оси (относительно водила) против часовой стрелки и вместе с водилом обкатывается вокруг колеса 1 по часовой стрелке.

Передаточное отношение планетарных передач определяется по методу обращения движения. Сообщим механизму вцелом, т. е. всем его звеньям (в том числе и стойке), вращение со скоростью в обратном направлении (против часовой стрелки), при этом относительное движение звеньев не изменится.

В обращенном движении водило , вращаясь по часовой стрелке со скоростью и вместе со всем механизмом в обратном направлении с такой же скоростью, будет оставаться неподвижным, т. е. в обращенном движении геометрические оси всех колес неподвижны, планетарный механизм превращается в рядовую или ступенчатую передачу, и его передаточное отношение в обращенном движении можно определить по уже выведенным •формулам (6 и 7).

Итак, передаточное отношение планетарного редуктора следует определять через его передаточное отношение в обращенном движении.

Угловые скорости в действительном и обращенном движении сведены в таблицу, где для общности вывода записано любое колесо (любой планетарной передачи.

Чтобы не путать скорости и передаточные числа в действительном и обращенном движениях, в дальнейшем в круглых скобках будет указываться индекс того звена, которое в данном движении неподвижно.

Для приведенного планетарного механизма (рис. 6):

, (15)

или

. (16)

Для любой планетарной передачи:

, (17)

или

. (18)

Для определения отношений от водила к колесу , а так же между двумя колесами К и планетарной ступени, воспользуемся формулами (8) и (11).

Передаточное отношение от водила к колесу:

. (19)

Передаточное отношение между двумя колесами планетарной передачи:

. (20)

Дифференциальные передачи

С помощью дифференциального механизма (рис. 9) осуществляется связь между тремя валами А, В и С:двумя ведущими и одним ведомым, либо одним ведущим и двумя ведомыми, причем угол поворота третьего вала, например С, будет зависеть от углов поворота двух других:

. (33)

Дифференцируя уравнение (33) по времени, получим:

, (34)

или

. (35)

Рассмотрим частные случаи, когда один из валов остановлен.

При :

; (36)

следовательно,

. (37)

При

, (38)

откуда

. (39)

Подставляя значения частных производных в уравнение (35), окончательно получим:

. (40)

Это уравнение является основным для определения скоростей звеньев дифференциального механизма. Для удобства формулировки звено С назовем условно ведомым, а звенья А и В — ведущими; тогда уравнение (40) можно сформулировать так:

угловая скорость ведомого вала дифференциала равна сумме двух слагаемых, каждое из которых равно произведению угловой скорости данного ведущего вала на передаточное отношение от ведомого к данному ведущему при остановленном другом ведущем.