Принцип формирования механизма. Группы Ассура

В механизмах с одной или со многими степенями свободы при удалении одного или всех входных звеньев остаются кинематические цепи с нулевой степенью свободы.

Кинематическая цепь с нулевой степенью свободы, которая присоединяясь к входному звену и стойке, образует механизм, называется структурной группой или группой Ассура.

Структурные группы с нулевой степенью свободы с вращательными и поступательными парами названы группами Ассура в честь русского ученого Л.В. Ассура, который сформулировал принцип образования механизмов из структурных групп. Согласно данному принципу образования механизмов любой механизм состоит из одного или нескольких входных звеньев и присоединенных к ним одной или нескольких групп Ассура.

Например, шарнирный четырехзвенник (рис. 1а) образован из входного звена 1 и структурной группы, состоящей из звеньев 2 и 3 с тремя вращательными парами .

Т.к. группы Ассура должны иметь нулевую степень свободы, то согласно формуле Чебышева (4) имеем:

. (8)

Из уравнении (8) получаем следующее соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар пятого класса (табл. 1):

Таблица 1

				…
				…

Структурная группа с и называется двухповодковой группой.

В зависимости от комбинации вращательных и поступательных кинематических пар и их расположения двухповодковые группы могут быть пяти видов (рис.2).

К группам Ассура с и с вращательными парами относятся структурные группы, показанные на рис.3.

Четырехзвенная группа, показанная на рис. 3а, называется группой Ассура третьего класса. Группа Ассура третьего класса имеет жесткое треугольное звено , которое называется базисным звеном.

Четырехзвенная группа, показанная на рис. 3б, называется группой Ассура четвертого класса. Группа Ассура четвертого класса имеет изменяемый замкнутый четырехсторонний контур .

Класс группы Ассура определяется числом сторон изменяемого замкнутого контура. Двухповодковые группы относятся ко второму классу.

Четырехзвенные группы Ассура и группы Ассура с более многими числами звеньев не должны распадаться на более простые группы Ассура. Четырехзвенная кинематическая цепь, показанная на рис. 4, распадается на две двухповодковые группы и .

Символическая запись механизма с указанием входного звена и класса структурных групп называется структурной формулой механизма. Например, шарнирный четырехзвенник, показанный на рис. 1а, имеет структурную формулу . Шестизвенные механизмы, показанные на рис. 5, имеют структурные формулы (рис. 5а), (рис. 5б), (рис. 5в).

Построение планов положений групп Ассура 2-го класса

Для построения планов положений группы Ассура должны быть заданы ее кинематическая схема, то есть структура исследуемой группы и геометрические параметры ее звеньев, а также положения ее внешних кинематических пар. План положений группы строится в выбранном масштабе в соответствии с масштабным коэффициентом .

Для построения плана положений групп Ассура используется метод засечки.

Методом засечки называется графическое определение точек пересечения двух кривых при помощи циркуля.

Двухповодковая группа первого вида

Для двухповодковой группы первого вида АВС в абсолютной системе координат OXY заданы координаты X_A, Y_A и X_C, Y_C внешних шарниров А и С, а также длины l_AB и l_BC звеньев АВ и ВС (рис. 6). Необходимо определить положения шарнира В.

Для определения положений шарнира В используем метод засечки, т.е. проводим две дуги окружностей радиусами, равными l_AB и l_BC, и центрами в точках А и С. Тогда в точках пересечения В₁ и В₂ этих дуг окружностей может находиться шарнир В.

Количество возможного расположения шарнира В определяет число сборок данной двухповодковой группы. Как видно из рис. 6, двухповодковая группа первого вида имеет 2 сборки.

Двухповодковая группа второго вида

Для двухповодковой группы второго вида АВС в абсолютной системе координат OXY заданы координаты X_A, Y_A внешнего шарнира А, длина l_AB звена АВ, направление направляющей сс внешней поступательной пары С и величина l_BD кратчайшего расстояния от шарнира В до направления направляющей сс (рис. 7). Необходимо определить положения шарнира В.

Для определения положений шарнира В проводим дугу окружности радиусом l_AB и центром в точке А. Проводим также две прямые с₁с₁ и с₂с₂, параллельные направляющей сс и отстоящие от нее на расстоянии l_BD. Точки пересечения В_k (k =1,2,3,4) этих двух прямых с дугой окружности определяют положения шарнира В. Как видно из рис. 7, двухповодковая группа второго вида имеет 4 сборки.

Двухповодковая группа третьего вида

Для двухповодковой группы третьего вида АВС в абсолютной системе координат OXY заданы координаты X_A, Y_A и X_С, Y_С внешних шарниров А и С, а также кратчайшие расстояния l_АD и l_СЕ от шарниров А и С до направляющей ползуна В (рис. 8). Необходимо определить направление направляющей ползуна В и длину отрезка DE.

Для построения плана положений данной группы проводим 2 окружности радиусами, равными l_AD и l_СЕ, и центрами в точках А и С. Проводим также 4 касательные к этим двум окружностям.

Тогда отрезки D_kE_k (k =1,2,3,4), соединяющие точки касания D_k и E_k окружностей, и их направления являются искомыми величинами. Как видно из рис. 8, двухповодковая группа третьего вида имеет 4 сборки.

Двухповодковая группа четвертого вида

Для двухповодковой группы четвертого вида АВС в абсолютной системе координат OXY заданы направления направляющих bb и сс двух крайних поступательных пар В и С, а также кратчайшие расстояния l_AD и l_AE от шарнира А до направления bb и сс (рис. 9). Необходимо определить положения шарнира А.

Для определения положений шарнира А проводим 4 прямые а_ia_i (i =1,2,3,4) параллельные к направлениям направляющих bb и сс и находящиеся от них на расстояниях l_AD и l_AE. Эти 4 прямые пересекаются в четырех точках А_j (j =1,2,3,4), которые определяют 4 искомые положения шарнира А. Следовательно, двухповодковая группа четвертого вида имеет 4 сборки.

Двухповодковая группа пятого вида

Для двухповодковой группы пятого вида АВС в абсолютной системе координат OXY заданы координаты Х_А, Y_A внешней вращательной кинематической пары А, направление направляющей крайней поступательной кинематической пары С, угол a между направляющими двух поступательных кинематических пар, кратчайшее расстояние l_AE от шарнира А до направления направляющей средней поступательной пары В. Необходимо определить положения ползунов В и С.

Для определения положений ползунов В и С проводим окружность радиусом l_AE и центром в точке А. Проводим к этой окружности 4 касательные под углом a. Тогда положения ползунов определяются отрезками и (i =1,2,3,4), где D -точка отсчета.

Если задано множество положений внешних кинематических пар, то построив план положений двухповодковых групп для каждого положения внешних кинематических пар, получим траекторию движения точек звеньев двухповодковых групп.

Рис. 10 - План положений двухповодковой группы пятого вида

Построение планов скоростей и ускорений шарнирного 4х звенного механизма

Построим план скоростей шарнирного четырехзвенника (рис.2.5 а). Определим скорость точки А кривошипа по формуле V_A=ω₁L_OA. Выберем масштабный коэффициент плана скоростей k_V. и изобразим скорость точки А в масштабе лучом pa, проведенным из полюса p в направлении скорости. Для определения скорости точки В запишем уравнение, аналогичное уравнению (2,3):

V_B =V_A + V_BA (2.4)

В этом уравнении две неизвестных: величина скорости V_BA и величина скорости V_B. Такое векторное уравнение решается, т.к. оно эквивалентно двум скалярным уравнениям с двумя неизвестными. На рис.2.5 представлено графическое решение векторного уравнения (2.4). Полученное построение представляет план скоростей, т.к. соответствует приведенному выше определению.

ω₂ = V_BA/L_BA = k_vba/L_BA

Направление угловой скорости определится, если перенести вектор относительной скорости в соответствующую точку звена. Направление относительной скорости показывает направление угловой скорости.

План ускорений

Ускорение точки А складывается из касательного и нормального ускорения, определяемых по формулам a_Aⁿ = ω₁²L_OA и a_A^τ = ε₁L_OA. Из полюса π отложим отрезки n_A и τ_A, изображающие в масштабе a_Aⁿ и a_A^τ. Для точки В запишем уравнение

a_B=a_A+ a_B (2.5)

a_Bⁿ+ a_B^τ= a_A+ a_BAⁿ+ a_BA^τ

В этом уравнении известны только величины касательных ускорений a_B^τ и a_BA^τ. Нормальные ускорения определяются по формулам a_Bⁿ = ω₃²L_BC, a_BAⁿ = ω₂²L_BA. Угловые скорости ω₃ и ω₂ находятся на основании построенного ранее плана скоростей. Из конца вектора τ_A откладывается вектор n_BA, а затем через его конец проводится линия направления вектора τ_BA. Из полюса π откладывается вектор n_B и затем через его конец проводится линия направления вектора τ_B, Пересечение линий τ_BA и τ_B определит точку b. Выполненное построение является графическим решением векторного уравнения (2.5).

ε₂ = a_BA^τ/L_BA = k_aτ_BA/L_BA

Для определения направления ε₂ следует перенести a_BA^τ в точку В. Направление касательного ускорения показывает направление углового ускорения. Кривошипно-шатунный механизм можно рассматривать как частный случай шарнирного четырехзвенника, у которого коромысло имеет бесконечно большую длину, вследствие чего траектория движения точки В – прямая линия.

Построение планов скоростей и ускорений кривошипно ползунного механизма

План скоростей

При построении планов скоростей длину отрезка, изображающего скорость точки А входного звена, рекомендуется принимать равной от 40 до 60 мм.

Для предварительного определения кинематических свойств механизма или для контроля аналитических вычислений иногда требуется найти скорости звеньев, применяя простейшие построения, известные под названием планов скоростей. Построение этих планов покажем на примере плоского шестизвенного механизма.

а) б)

начинаем с определения величины скорости точки А начального звена 1: . Если задано число оборотов начального звена в минуту, т.е. частота вращения п, то используется соотношение .

Изобразим скорость вектором, отложенным из некоторой точки р, называемой полюсом плана скоростей (рис.6,б). Этот вектор направлен перпендикулярно ОА в сторону, соответствующую направлению угловой скорости . В конце вектора поставим точку а. Длина отрезка (ра) может быть выбрана произвольно. Масштабный коэффициент скоростей подсчитывается по формуле и имеет размерность .

Можно также задаваться значением и определять отрезок (ра) и в миллиметрах из условия .

Затем находим скорость точки В, которая является общей для звеньев 2 и 3. Воспользовавшись теоремой о сложении скоростей в переносном и относительном движениях, напишем уравнение, связывающее скорости точек А – В и В

(1)

Здесь и далее вектор, известный по величине и направлению, подчеркнут двумя линиями, а вектор, известный только по направлению, подчеркнут одной линией.

Из уравнения (1) неизвестные находятся графическим построением векторов. Для этого из точки а проводим линию, перпендикулярную АВ, а из полюса р – линию, перпендикулярную ВС. В пересечении этих направлений находится точка b – конец вектора искомой скорости точки В. Соединив точку в с полюсом р, получим вектор, изображающий скорость . Вектор скорости изображается отрезком (bа), причем стрелка вектора направлена к точке b, т.е. к первой букве индекса, а вектор скорости изображается отрезком (рb), поскольку точка С как стойка находится в полюсе плана скоростей.

Далее определяем угловую скорость звена 2 по формуле

,

где .

Для определения направления угловой скорости звена 2 переносим вектор скорости в точку В и рассматриваем движение точки В относительно точки А в направлении скорости .

Угловая скорость звена 3 находится по формуле

,

где .

Для определения направления угловой скорости звена 3 переносим вектор скорости в точку В и рассматриваем движение точки В относительно точки С в направлении скорости .

Для нахождения скорости точки D справедлива следующая формула

. (2)

Подберем точку D₆ на звене 6 совпадающий с точкой D. Тогда для двух точек, совпадающих в данном положении, но принадлежащих разным звеньям поступательной пары, можно написать уравнение, связывающее их скорости

. (3)

Угловая скорость звена 4 находится по формуле

,

где .

План ускорений

Уравнения, которые используются при построении плана ускорений механизма, отличаются от уравнений для построения плана скоростей только разложением полных ускорений на отдельные составляющие.

А) б)

Полное ускорение точки А складывается из двух составляющих: нормального ускорения и касательного . Нормальное ускорение направлено по линии АВ к центру А, а его величина определяется по формуле

.

Величина касательного ускорения определяется по формуле

,

где - угловое ускорение звена 1, и оно равно нулю, поскольку рассматриваем движение кривошипа как вращающееся с постоянной скоростью. Тогда ускорение точки А будет

.

Приняв некоторую точку р за полюс плана ускорений (рис.7, б), отложим вектор, изображающий нормальное ускорение точки А, в виде отрезка (рn₁). Тогда масштабный коэффициент ускорений найдется из соотношения и имеет размерность .

Можно также задаться значением и определить отрезок (рn₁) из условия .

Далее находим ускорение точки В

,

.

Величины нормальных ускорений вычисляются по формулам

, .

Отрезки, изображающие векторы (мм) этих ускорений:

,

Векторы должен быть направлен по линии АВ к центру В, а векторы - вдоль линии ВС от точки В к точке С как центру вращения. Направления векторов касательных ускорений проводятся перпендикулярно направлениям нормальных ускорений через точки и . Пересечение этих направлений определит точку b – конец вектора искомого ускорения точки В.

Угловые ускорения звеньев 2 и 3 определяются по формулам:

, ,

где

, .

Для определения направлений угловых ускорений и переносим векторы и в точку В и наблюдаем, в какую сторону эти векторы вращают отрезки ВА и ВС.

Для нахождения скорости точки D справедлива следующая формула

.

Вектор должен быть направлен по линии ВD к центру В. Направление вектора касательного ускорения проводится перпендикулярно направлению нормального ускорения через точки . Через полюс плана ускорений проведем параллельную линию к линии хода ползуна. Пересечение этих направлений определит точку d – конец вектора искомого ускорения точки D.

Угловое ускорение звена 4 определяется по формуле:

.

Где

.