Операции над векторами

В этом разделе мы вспомним известные из школьного курса математики операции сложения векторов и умножения вектора на число, а также свойства этих операций.

Определение 10.6 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).

Рис.10.2.Сложение векторов

Сложение векторов в соответствии с рисунком 10.2 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника, которое становится ясным из рисунка 1.3. Из того же рисунка видно, что результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

Рис.10.3.Правило треугольника

Определение 10.7 Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .

Определение 10.8 Разностью векторов a и b называется сумма .

Разность обозначается , то есть .

Определение 10.9 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1)
и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Рис.10.4.Умножение вектора на число

Замечание 10.1 Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом, определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Теорема 10.1 Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства:
1) (свойство коммутативности операции сложения);
2) (свойство ассоциативности операции сложения);
3) ;
4) ;
5) (свойство ассоциативности по отношению к числам);
6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число);
7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор;
8) .

Доказательство. Свойство 1 следует из того, что при сложении векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2) порядок слагаемых не влияет на построение параллелограмма. Доказательство свойства 2 следует из рисунка 10.5.

Рис.10.5.Ассоциативность сложения

Свойства 3 и 4 очевидны при сложении векторов по правилу треугольника.

Докажем свойство 5. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину . Если это произведение равно нулю, то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и, следовательно, равны друг другу. В противном случае векторы и коллинеарны вектору a и имеют с ним одинаковое направление, если числа и одного знака, и направление, противоположное вектору a, если и разного знака. Следовательно, .

Свойство 6 очевидно, если . Если и векторы a и b неколлинеарны, то это свойство вытекает из подобия треугольников на рисунке 10.6.

Рис.10.6.Свойство дистрибутивности

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из определения 10.9 произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.

Рис.10.7.Сумма нескольких слагаемых

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число:
9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ;
10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ;
11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что .

№7

Основные сведения из векторной алгебры. Различают два рода величин: скалярные и векторные.

1. Если некоторая величина вполне определяется ее числовым значением, то ее называют скалярной. Примерами скалярных величин могут служить: масса, плотность, работа, сила тока, температура. Скаляры являются алгебраическими величинами и с ними можно производить любые алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д.

2. Если при определении некоторой величины для ее полной характеристики, кроме числового значения, надо знать и ее направление, то такая величина называется векторной, или вектором. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, сила. Длина вектора называется также его модулем, или абсолютной величиной.

3. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (см. рисунок).

Будем обозначать вектор одной буквой с черточкой над ней, например, , а модуль этого вектора - той же буквой, только без черточки над ней, т. е. a. Модуль вектора a часто обозначается .

Вектор будем также обозначать , где A - начало и B - конец вектора, а его модуль - теми же буквами, но без черточки наверху.

4. Вектор равен нулю, если его модуль равен нулю. Такой вектор называется нулевым.

5. Два вектора и называются равными, если: 1) равны их модули, 2) они параллельны и 3) направлены в одну и ту же сторону.

Два вектора с равными модулями, лежащие на параллельных прямых, но противоположно направленные, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается через .

6. Сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу, есть третий вектор , длина которого равна длине параллелограмма, построенного на векторах и , а направлен он от точки A к точке B (см. рисунок):

Модуль вектора вычисляется по формуле

(1)

7. Сумму нескольких векторов, например , , и , строят так: берут произвольную точку O плоскости и из нее строят вектор , равный вектору ; из точки A проводят вектор , равный вектору , из точки B - вектор , равный вектору и, наконец, из точки C строят вектор , равный вектору . Вектор , замыкающий полученную ломаную линию OABCD, и будет суммой векторов , , и (см. рисунок ниже):

По такому же правилу строится и сумма любого числа векторов.

8. Разностью двух векторов и называется такой третий вектор , который равен сумме векторов и (см. рисунок). Вектор параллелен вектору , равен ему по модулю, но противоположно направлен:

9. При умножении вектора на скаляр k получается вектор , модуль которого равен модулю вектора , умноженному на k, т. е. b = ak. Направления векторов и совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0. Имеем

, или .

10. Два вектора, лежащие на параллельных прямых, независимо от того, направлены они одинаково или противоположно, называются коллинеарными.

11. Единичным вектором, или ортом данного вектора, называется вектор, совпадающий по направлению с данным вектором и имеющий модуль, равный единице.

12. Проекцией вектора на ось называется длина отрезка A'B', заключенного между проекциями конца и начала вектора на эту ось. Этой длине приписывается знак плюс, если направление отрезка A'B' совпадает с направлением оси, и знак минус, если его направление противоположно направлению оси.

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора (см. рисунок).

Проекция вектора на ось обозначается через a_l или , а угол между осью и вектором будем обозначать так: . Таким образом,

(2)

Если - углы, образованные вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

(3)

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

(4)

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку).

Если векторы и равны, то равны и их проекции:

a _{1 x} = a _{2 x} ; a _{1 y} = a _{2 y} ; a _{1 z} = a _{2 z} . (5)

Если для вектора известны координаты его начала A (x ₁, y ₁, z ₁) и координаты его конца B (x ₂, y ₂, z ₂), то проекции вектора на координатные оси определяются по формулам

a_x = x ₂ - x ₁; a_y = y ₂ - y ₁; a_z = z ₂ - z ₁, (6)

а модуль вектора в этом случае определится по формуле

(7)

Очевидно, что по формуле (7) следует вычислять и расстояние между точками A (x ₁, y ₁, z ₁) и B (x ₂, y ₂, z ₂).

13. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Из векторного равенства

(8)

следуют такие три скалярные равенства:

a_x = a _{1 x} + a _{2 x} + a _{3 x} +... + a_nx;
a_y = a _{1 y} + a _{2 y} + a _{3 y} +... + a_ny; (9)
a_z = a _{1 z} + a _{2 z} + a _{3 z} +... + a_nz.

14. Если - векторы, по модулю равные единице и направленные по координатным осям Ox, Oy и Oz, то разложение вектора по трем координатным осям выражается формулой

(10)

где a_x, a_y и a_z - проекции вектора a на координатные оси - называются координатами вектора (если вектор имеет координаты a_x, a_y, a_z, то это обозначается так: { a_x, a_y, a_z }). Если вектор имеет начало в начале координат, а его конец A имеет координаты x, y и z, то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца:

a_x = x; a_y = y; a_z = z.

В этом случае вектор называется радиусом-вектором точки A. Радиус-вектор точки обозначается обыкновенно через (см. рисунок):

(11)

а модуль радиуса-вектора точки A (x, y, z) вычисляется по формуле

(12)

15. Углы, образуемые вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул (3) и (4):

(13)

Косинусы, определяемые по этим формулам, называются направляющими косинусами вектора .

Для направляющих косинусов вектора имеет место формула

(14)

т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором с тремя взаимно перпендикулярными осями, равна единице.

Если , т. е. если - единичный вектор, обозначаемый обыкновенно , то его проекции на координатные оси вычисляются по формулам

(15)

т. е. проекции единичного вектора на оси прямоугольной системы координат Ox, Oy и Oz равны соответственно направляющим косинусам этого вектора. Имеет место формула

(16)

16. Если даны два вектора

то

и

(17)

17. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается символом . Если обозначить угол между векторами и через , для скалярного произведения будем иметь

(18)

Из формулы (8) следует, что скалярное произведение двух векторов и - это произведение модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора (см. рисунок):

(19)

откуда .

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, так как в этом случае .

Скалярное произведение имеет свойства, аналогичные свойствам произведений чисел:

(переместительное свойство умножения);

(распределительное, или дистрибутивное свойство произведения).

Если векторы и заданы проекциями на координатные оси

то их скалярное произведение вычисляется по формуле

(20)

а косинус угла между этими векторами определяется по формуле

(21)

Если углы, образуемые вектором с координатными осями, обозначить через , а углы, образуемые вектором с координатными осями, - через , то косинус угла между векторами и определяется по формуле

(22)

Если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и тогда

a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0, (23)

или

(24)

18. Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен где - угол между векторами и .

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы и , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

(25)

или

(26)

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

3) (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

(27)

которую можно записать с помощью определителя

(28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

(29)

и тогда на основании (4)

(30)

Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.

19. Векторно-скалярное произведение трех векторов , и или смешанное их произведение вычисляется по формуле

(31)

Абсолютная величина векторно-скалярного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и . Объем пирамиды, построенной на векторах , и , получим по формуле

(32)

причем знак перед определителем должен быть выбран так, чтобы объем V был положительным (предполагается, что векторы , и не лежат в одной плоскости).

20. Три вектора , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.