Линейная зависимость векторов

Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение 10.15 Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при .

Кто плохо понял два последних определения, может получить дополнительные объяснения здесь.

Предложение 10.6 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда

то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).

Предложение 10.7 Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.

Доказательство.

Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.

№8