Обратимость матрицы перехода

1. Если |C|=0, то |C^*|=0 и строки матрицы C^* линейно зависимы. Поэтому из

следует, что v'₁,...,v'_n - линейно зависимая система в V, что приводит к противоречию с тем, чтоv'₁,...,v'_n - базис. Итак, мы показали, что и существует обратная матрица C^-1 (тогда (C^*)^-1=(C^-1)^*).

2. Другое доказательство обратимости матрицы C дает интерпретация матрицы B=C^-1 как матрицы перехода от второго базиса к первому.

Действительно, элементы v₁,...,v_n также выражаются как линейные комбинации элементов базиса{v'₁,...,v'_n}:

. Тогда . Так как , то

Так как {v₁,...,v_n} - базис в V, то (CB)^*=E, следовательно, CB=E, и поэтому B=C^-1.

3. Для любой обратимой матрицы , , и любого базиса {v₁,...,v_n} конечномерного линейного пространства _K V, , элементы , где

образуют базис линейного пространства _K V.

Действительно, в этом случае

т. е. n линейно независимых элементов v₁,...,v_n линейно выражаются через v'₁,...,v'_n. По основной лемме о линейной зависимости элементыv'₁,...,v'_n линейно независимы. Так как , то {v'₁,...,v'_n} - базис линейного пространства _K V.