Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Теорема. (О делении комплексных чисел в тригонометрической форме)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

. (2)

Доказательство. Воспользуемся следствием формулы Муавра и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи. Получаем:

, ч.т.д.

Пример 1. Запишите комплексные числа и в тригонометрической форме и найдите их произведение и частное .

Решение. 1) Комплексное число на комплексной плоскостинаходится во второй четверти, поэтому

, .

2) Комплексное число на комплексной плоскости находится во четвертой четверти, поэтому

, .

3)

.

Ответ: , .

Пример 2. Вычислить .

Решение. Комплексное число на комплексной плоскостинаходится в третьей четверти, поэтому ,

Применим формулу Муавра:

.

№3

Два комплексных числа a + b•i и a - b•i называются сопряженными. Сопряженные комплексные числа в сумме дают действительное число2a