Свойства комплексно сопряженных чисел

1. .

2. .

3. .

4. .

5.

6. .

7. .

8.

9. Для любого многочлена с действительными коэффициентами от комплексной переменной z

.

Доказательство. 1) Пусть – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа и , ч.т.д.

2) Пусть . Тогда и . С другой стороны, и , откуда и следует, что .

3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.

а) База индукции.

При , равенство только что доказано.

б) Индукционная гипотеза.

Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно : .

в) Индукционный переход.

Так как утверждение верно для двух слагаемых, то

. Далее используем индукционное предположение:

, откуда и следует доказываемое равенство.

4) Пусть . Тогда и . С другой стороны, , откуда и следует, что .

5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.

6) Пусть и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа , ч.т.д.

7) Пусть а – действительное число. Тогда и по определению комплексно сопряженного числа , ч.т.д.

8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах , ч.т.д.

9) Пусть z – комплексная переменная и – многочлен от комплекснойпеременной z с действительными коэффициентами: , где

– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Обозначим . Тогда , , . Отсюда, .

№4

Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией мнимого аргумента с одной стороны и тригонометрическими функциями и - с другой:   (1)   Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора:   (2)     (3)     (4)   Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку :   (5)   Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:   (6)   В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции exp(i φ) равна cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,   (7)   что и устанавливает формула Эйлера. Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:   (8)   Отметим, что показательные функции с комплексными и вещественными степенями имеют одинаковые свойства:   (9)     (10)     (11)