Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. .
2. .
3. .
4. .
5.
6. .
7. .
8.
9. Для любого многочлена с действительными коэффициентами от комплексной переменной z
.
Доказательство. 1) Пусть – произвольное комплексное число. Тогда по определению комплексно сопряженного числа и , ч.т.д.
2) Пусть . Тогда и . С другой стороны, и , откуда и следует, что .
3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.
а) База индукции.
При , равенство только что доказано.
б) Индукционная гипотеза.
Предположим, что утверждение верно, если число слагаемых равно : .
в) Индукционный переход.
Так как утверждение верно для двух слагаемых, то
. Далее используем индукционное предположение:
, откуда и следует доказываемое равенство.
4) Пусть . Тогда и . С другой стороны, , откуда и следует, что .
5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.
6) Пусть и k – произвольное натуральное число. Тогда по определению натуральной степени числа , ч.т.д.
7) Пусть а – действительное число. Тогда и по определению комплексно сопряженного числа , ч.т.д.
8) Пусть . По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах , ч.т.д.
9) Пусть z – комплексная переменная и – многочлен от комплекснойпеременной z с действительными коэффициентами: , где
– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить .
Решение. Обозначим . Тогда , , . Отсюда, .
№4
Формула Эйлера устанавливает взаимосвязь между экспоненциальной функцией мнимого аргумента с одной стороны и тригонометрическими функциями и - с другой:
Доказательство формулы Эйлера основано на разложении вышеуказанных функций в ряд Тейлора:
Преобразуем формулу (2), выполнив подстановку :
Перегруппируем слагаемые, выделив вещественную и мнимую части:
В соответствии с формулами(3) и (4) вещественная часть функции exp(i φ) равна cos φ, а мнимая часть этой функции равна sin φ. Следовательно,
что и устанавливает формула Эйлера. Формула Эйлера позволяет обобщить понятие показательной функции вещественного аргумента на случай его комплексных значений:
Отметим, что показательные функции с комплексными и вещественными степенями имеют одинаковые свойства: Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 383 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы! |