Замена координат элемента линейного пространства при замене базиса

Пусть {v₁,...,v_n}, {v'₁,...,v'_n} - два базиса линейного пространства _K V, , , , - матрица перехода от первого базиса ко второму,

.Так как

то (x'₁,...,x'_n) = (x₁,...,x_n) (C^-1)^*, или

что эквивалентно

Пример 9.9.1. Пусть V= R³, v₁=(2,1,-3), v₂=(3,2,-5), v₃=(1,-1,1). Необходимо выяснить, образуют ли элементы v₁, v₂, v₃ базис в R³, и если да, то найти координаты строки x=(6,2,-7) в базисе {v₁,v₂,v₃}.

Решение

где {e₁,e₂,e₃} - стандартный базис в R³,

Строки v₁, v₂, v₃ образуют базис в R³ тогда и только тогда, когда матрица C обратима. Если матрица C обратима, то столбец координат строки x в базисе {v₁,v₂,v₃} равен

Для вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы A^-1B в процессе работы которого проверяется, обратима ли матрица A=C:

Таким образом, матрица C обратима, (1,1,1) - координаты строки x в базисе {v₁,v₂,v₃}, x=v₁+v₂+v₃.

Этот же результат можно было получить, используя формулу (6,2,-7)(C^*)^-1=(1,1,1),

(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).

№10

Элементарное определение

A • B = | A | | B | cos(θ)

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними: